斉次2階線型微分方程式の典型例を紹介します。
\begin{equation}
y'' - 2\lambda y' + \lambda^2 y= 0 \quad (\lambda \ne 0) \tag{1}
\end{equation}の一般解は、
\begin{equation}
y = (C_1 x + C_2) e^{\lambda x} \quad (C_1, C_2: 任意定数)
\end{equation}
まずy'を別の表記にします。
\begin{equation}
\frac{d^2 y}{dx^2} - 2\lambda \frac{dy}{dx}+ \lambda^2 y =0 \tag{1'}
\end{equation}
この式は、次のように変形できます。
\begin{equation}
\left( \frac{d}{dx} -\lambda \right)^2 y =0
\end{equation}これより、
\begin{equation}
\left( \frac{d}{dx} -\lambda \right) y =0 \tag{2}
\end{equation}なので、
\begin{equation}
y = Ce^{\lambda x} \quad (C:任意定数) \tag{3}
\end{equation}が(1)式の解であることは分かります。
変数分離形の例 その4 - 数式で独楽する
ところで、式(3)の他に式(1)を満たすものがあるかどうか、見てみましょう。
ここで、定数変化法を用いていきます。
\begin{equation}
y = Ce^{\lambda x} \quad (C:任意定数) \tag{3}
\end{equation}の任意定数が
の関数であるとして、はじめの式(1)に代入します。
\begin{eqnarray}
y'' &=& C''e^{\lambda x} &+& 2\lambda C'e^{\lambda x} &+& \lambda^2 Ce^{\lambda x}& \\
-2\lambda y' &=& &-&2\lambda C'e^{\lambda x} &-&2 \lambda^2 Ce^{\lambda x}& \\
\lambda^2 y &=& &&&&\lambda^2 Ce^{\lambda x}&
\end{eqnarray}
なので、式(1)は
\begin{equation}
C''e^{\lambda x} = 0
\end{equation}となります。なので、
\begin{equation}
C'' = 0
\end{equation}です。
これより、
\begin{equation}
C = C_1 x + C_2 \quad (C_1, C_2:任意定数)
\end{equation}となります。これを式(3)に代入すると、式(1)
\begin{equation}
y'' - 2\lambda y' + \lambda^2 y= 0 \quad (\lambda \ne 0) \tag{1}
\end{equation}の一般解
\begin{equation}
y = (C_1 x + C_2) e^{\lambda x} \quad (C_1, C_2: 任意定数)
\end{equation}を得ます。
