直交座標系の面積分における面積要素は
\begin{equation}
dS = dx \, dy
\end{equation}です。
直交座標系を別の座標系に変換すると、
\begin{equation}
dS = \left| \frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)} \right| du \, dv \tag{1}
\end{equation}となります。
ここにはヤコビ行列式(ヤコビアン)といい、
\begin{eqnarray}
\left| \frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)} \right| &=& \det \left( \begin{array}{cc}
\displaystyle \frac{\partial x}{\partial u} & \displaystyle \frac{\partial x}{\partial v} \\
\displaystyle \frac{\partial y}{\partial u} & \displaystyle \frac{\partial y}{\partial v} \end{array} \right) \\
&=& \left| \begin{array}{cc}
\displaystyle \frac{\partial x}{\partial u} & \displaystyle \frac{\partial x}{\partial v} \\
\displaystyle \frac{\partial y}{\partial u} & \displaystyle \frac{\partial y}{\partial v} \end{array} \right|
\end{eqnarray}で表します。
式(1)は1次元での置換積分
\begin{equation}
dy = \frac{dy}{dx} \, dx
\end{equation}と形が似ています。
謎の記号は別の記事で紹介する予定です。
偏微分 - 数式で独楽する
さて、直交座標系を極座標系
に変換することを考えます。
\begin{eqnarray}
x &=& r \cos \theta \\
y &=& r \sin \theta
\end{eqnarray}
これより、
\begin{eqnarray}
\frac{\partial x}{\partial r} = \cos \theta, & \quad & \frac{\partial x}{\partial \theta} = -r \sin \theta \\ \frac{\partial y}{\partial r} = \sin \theta, & \quad & \frac{\partial y}{\partial \theta} = r \cos \theta \end{eqnarray} なので、ヤコビ行列式は、
\begin{eqnarray}
\left| \frac{\partial (x,y)}{\partial (r,\theta)} \right| &=& \left|
\begin{array}{cc}
\displaystyle \frac{\partial x}{\partial u} & \displaystyle \frac{\partial x}{\partial v} \\
\displaystyle \frac{\partial y}{\partial u} & \displaystyle \frac{\partial y}{\partial v} \end{array} \right| \\
&=& \left| \begin{array}{cr}
\cos \theta & -r \sin \theta \\
\sin \theta & r \cos \theta
\end{array} \right| \\
&=& \cos \theta \cdot r \cos \theta -(- r\sin \theta) \sin \theta \\
&=& r(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) \\
&=& r
\end{eqnarray}となります。
これより、極座標系における面積要素
\begin{eqnarray}
dx \, dy &=& \left| \frac{\partial (x,y)}{\partial (r,\theta)} \right| dr \, d\theta \\
&=& r \, dr \, d\theta
\end{eqnarray}を得ます。
図で示すと次のように考えることができます。
面積要素は、微小長さ×微小長さです。
直交座標系ではですが、極座標系での微小長さ×微小長さは
\begin{equation}
dr \cdot r \, d\theta = r \, dr \, d \theta
\end{equation}となります。
