変数分離形の微分方程式の例を幾つか紹介していきます。
本稿はその第3弾です。
\begin{equation}
y' = ky \tag{1}
\end{equation}
まず別の表記にします。
\begin{equation}
\frac{dy}{dx} = ky \tag{1'}
\end{equation}
この式は、次のように変形を分離できます。
\begin{equation}
\frac{dy}{y} = k\ dx
\end{equation}
両辺を積分します。
\begin{eqnarray}
\int \frac{dy}{y} &=& k \int dx \\
\log |y| &=& kx +C \tag{2}
\end{eqnarray}
任意定数は両辺に出てきますが、任意なので右辺にまとめられます。
式(2)を書き換えます。
\begin{equation}
|y| = e^{kx +C}\end{equation}
絶対値の記号を外します。
\begin{equation}
y = \pm e^C e^{kx} \tag{3}
\end{equation}
ここで
\begin{equation}
A = \pm e^C \tag{4}
\end{equation}とすると、式(3)は
\begin{equation}
y = Ae^{kx} \tag{5}
\end{equation}となります。
なお、が任意定数なので、
も任意定数です。
ただし、式(4)のため、
\begin{equation}
A \ne 0
\end{equation}です。
ところが、
\begin{equation}
y \equiv 0
\end{equation}すなわちが
によらず恒に0である場合は明らかに式(1)を満たすので、
\begin{equation}
A=0
\end{equation}でもよいことが分かります。
よって、式(1)の解は、
\begin{equation}
y = Ae^{kx} \quad (A: \ \mbox{任意定数})
\end{equation}となります。
類型をたくさんこなしていくと、
\begin{equation}
y' = ky \quad \Longrightarrow \quad y = Ae^{kx}
\end{equation}が当たり前と思えるようになります。
ここが、1980年代後半の、高校数学の頂点のひとつです。
