濃縮問題
濃縮問題 - 数式で独楽する
容積がVの容器いっぱいに濃度がCの溶液が入っている。
この容器に流量Qで濃度がの液体を注入し、同じ流量で排出する系を考える。
時刻t=0の時の濃度を
とするとき、
- 時刻tの濃度を求めよ。
- 濃度を
とする場合の注入量を求めよ。
で出て来た微分方程式
\begin{equation}
V \frac{dC}{dt} = Q(C_0 -C) \tag{1}
\end{equation}を幾つかの手法で解いていきます。
本稿はその2つ目です。
式(1)を少し変形します。
\begin{equation}
\frac{dC}{dt} + \frac{Q}{V} \ C = \frac{Q}{V}\ C_0 \tag{2}
\end{equation}
本稿では、定数変化法で解いていきます。
非斉次線型1階微分方程式 その2 - 数式で独楽する
式(2)の斉次形
\begin{equation}
\frac{dC}{dt} + \frac{Q}{V} \ C = 0 \tag{2'}
\end{equation}の一般解
\begin{equation}
C = B \ e^{\raise{1ex} \hbox{$\displaystyle \scriptsize - \frac{Q}{V}\ t $}} \quad (B : 任意定数) \tag{3}
\end{equation}のBをtの関数と見なし、式(2)に代入します。
\begin{eqnarray}
\frac{dB}{dt} \ e^{\raise{1ex} \hbox{$\displaystyle \scriptsize - \frac{Q}{V}\ t $}} - \frac{Q}{V} \ B \ e^{\raise{1ex} \hbox{$\displaystyle \scriptsize - \frac{Q}{V}\ t $}} + \frac{Q}{V} \ B \ e^{\raise{1ex} \hbox{$\displaystyle \scriptsize - \frac{Q}{V}\ t $}} &=& \frac{Q}{V} \ C_0 \\
\frac{dB}{dt} \ e^{\raise{1ex} \hbox{$\displaystyle \scriptsize - \frac{Q}{V}\ t $}} &=& \frac{Q}{V} \ C_0 \\
\frac{dB}{dt} &=& \frac{Q}{V} \ C_0 \ e^{\raise{1ex} \hbox{$\displaystyle \scriptsize \frac{Q}{V}\ t $}}
\end{eqnarray}
これより、
\begin{equation}
B = C_0 \ e^{\raise{1ex} \hbox{$\displaystyle \scriptsize \frac{Q}{V}\ t $}} + A \quad (A: 任意定数) \tag{4}
\end{equation}となります。
式(4)を式(3)に代入すると、式(1)の一般解
\begin{equation}
C = C_0 + A \ e^{\raise{1ex} \hbox{$\displaystyle \scriptsize -\frac{Q}{V}\ t $}}
\end{equation}を得ます。
