\begin{equation}
[\log_2 (x+50)] = [\log_2 x] +3
\end{equation}を満たすの範囲を求めよ。
式中の[ ]はガウス記号で、中の数を超えない最大の整数を表します。
\begin{equation}
[x] = m
\end{equation}であれば、の範囲は
\begin{equation}
m \leqq x < m+1
\end{equation}です。
これを踏まえて、与式
\begin{equation}
[\log_2 (x+50)] = [\log_2 x] +3 \tag{1}
\end{equation}を満たすの範囲を求めていきます。
ガウス記号と対数が絡み合っており、ややこしい形です。
式(1)で、整数を用いて
\begin{equation}
[\log_2 x] = n \tag{2}
\end{equation}と置くと、
\begin{equation}
[\log_2 (x+50)] = n+3 \tag{3}
\end{equation}となります。
少し見通しが良くなりました。
式(2)より、
\begin{equation}
n \leqq \log_2 x < n+1
\end{equation}すなわち
\begin{equation}
2^n \leqq x < 2^{n+1} \tag{4}
\end{equation}が得られます。
同様に、式(3)より、
\begin{equation}
n+3 \leqq \log_2 (x+50) < n+4
\end{equation}すなわち
\begin{equation}
2^{n+3} \leqq x+50 < 2^{n+4}
\end{equation}より
\begin{equation}
2^{n+3} -50 \leqq x < 2^{n+4} -50 \tag{5}
\end{equation}が得られます。
式(4), (5)
\begin{eqnarray}
2^n &\leqq x <& 2^{n+1} \tag{4} \\
2^{n+3} -50 &\leqq x <& 2^{n+4} -50 \tag{5}
\end{eqnarray}
を共に満たすの範囲を求めればよいことになります。
未知数が最初からあると後から出た
の2つになっています。
しかし、
\begin{equation}
2^{n+4} -50 \leqq 2^n \tag{6}
\end{equation}または
\begin{equation}
2^{n+1} \leqq 2^{n+3} -50 \tag{7}
\end{equation}であれば、式(4), (5)を満たすはありません。
式(6)より、
\begin{equation}
2^n \cdot 15 \leqq 50
\end{equation}すなわち
\begin{equation}
2^n \leqq \frac{10}{3} = 3 \frac{1}{3}
\end{equation}となり、
\begin{equation}
n \leqq 1 \tag{8}
\end{equation}なるでは、式(4), (5)を共に満たす
はありません。
また、式(7)より、
\begin{equation}
2^{n+1} \cdot 3 \geqq 50
\end{equation}すなわち
\begin{equation}
2^{n+1} \geqq \frac{50}{3} = 16 \frac{2}{3}
\end{equation}となり、
\begin{equation}
n \geqq 4 \tag{9}
\end{equation}なるでは、式(4), (5)を共に満たす
はありません。
式(8), (9)より、式(4), (5)を共に満たすが存在するのは、
\begin{equation}
n =2,3
\end{equation}の場合のみとなります。
の場合、式(4), (5)はそれぞれ
\begin{eqnarray}
4 &\leqq x <& 8 \\
-18 &\leqq x <& 14 \tag{5}
\end{eqnarray}
となり、共に満たすの整数は
\begin{equation}
4 \leqq x < 8
\end{equation}となります。
また、の場合、式(4), (5)はそれぞれ
\begin{eqnarray}
8 &\leqq x <& 16 \tag{4} \\
14 &\leqq x <& 78 \tag{5}
\end{eqnarray}
となり、共に満たすの整数は
\begin{equation}
14 \leqq x < 16
\end{equation}となります。
以上より、式(1)を満たすの範囲は、
\begin{eqnarray}
4 &\leqq x <& 8 \\
14 &\leqq x <& 16
\end{eqnarray}
となります。
