非斉次線型1階微分方程式 その2

非斉次線型1階微分方程式とは、
\begin{equation}
\frac{dy}{dx} + P(x)\ y = Q(x) \tag{1}
\end{equation}の形になるものをいいます。

本稿では、定数変化法を用いて解いていきます。
定数変化法は、非斉次形などの微分方程式を解く、強力な便法です。

定数変化法のステップは次の通りです。

1. 斉次形の一般解を求めます。一般解には、任意定数が出て来ます。
2. 非斉次形では、斉次形の一般解の任意定数が変数により変化するものと考えます。
3. 斉次形の一般解を元の非斉次形の方程式に代入すると、任意定数部分の微分方程式が得られます。
4. 任意定数部分の一般解を求めます。
5. 以上より非斉次形の一般解が得られます。

まず、の斉次形、すなわち
\begin{equation}
\frac{dy}{dx} + P(x)\ y = 0 \tag{2}
\end{equation}を解いていきます。
\begin{equation}
\frac{dy}{y} = -P(x) \ dx \tag{3}
\end{equation}より、
\begin{equation}
\int \frac{dy}{y} = - \int P(x) \ dx \tag{4}
\end{equation}です。
\begin{equation}
\int P(x) \ dx = f(x) \tag{5}
\end{equation}とすると、式(4)は
\begin{eqnarray}
\log |y| &=& -f(x) +A \quad (A:任意定数) \\
\ |y| &=& e^{-f(x) +A} \\
y &=& \pm e^{-f(x) +A} \tag{6}
\end{eqnarray}
となります。
\begin{equation}
C = \pm e^A \tag{7}
\end{equation}とすると、式(6)は
\begin{equation}
y = Ce^{-f(x)} \tag{8}
\end{equation}となります。しかし式(7)のため、現時点ではです。

一方で、恒等的には式(2)を明らかに満たします。式(7)にを入れてもよいことになります、
よって、斉次形の式(2)の一般解は、
\begin{equation}
y = Ce^{-f(x)} \quad (C: 任意定数) \tag{8}
\end{equation}となります。

次に、式(1)での非斉次形を解いていきます。
をの関数と見て式(1)に代入します。
\begin{eqnarray}
\frac{dy}{dx} &=& \frac{d}{dx} \left( Ce^{-f(x)} \right) \\
&=& \frac{dC}{dt} e^{-f(x)} + Ce^{-f(x)}(-f'(x)) \\
P(x) \ y &=& f'(x) \ Ce^{-f(x)}
\end{eqnarray}
なので、
\begin{equation}
\frac{dy}{dx} + P(x)\ y = \frac{dC}{dt} e^{-f(x)}
\end{equation}となり、式(1)は
\begin{equation}
\frac{dC}{dt} e^{-f(x)} = Q(x)
\end{equation}と変形できます。
\begin{equation}
\frac{dC}{dt} = e^{f(x)} Q(x)
\end{equation}となるので、
\begin{equation}
C = \int e^{f(x)} Q(x) \ dx \tag{9}
\end{equation}が得られます。

よって、式(8}, (9)をまとめると、式(1)の一般解は、
\begin{equation}
y = e^{-f(x)}\int e^{f(x)}Q(x) \ dx
\end{equation}となります。
式(3)を代入すると、
\begin{equation}
y = e^{-\int P(x)\ dx}\int e^{\int P(x)\ dx}Q(x) \ dx
\end{equation}となります。

なお、一般解の任意定数は、の中に隠れています。