非斉次線型1階微分方程式とは、
\begin{equation}
\frac{dy}{dx} + P(x)\ y = Q(x) \tag{1}
\end{equation}の形になるものをいいます。
この形の場合、
\begin{equation}
\int P(x)\ dx = f(x) \tag{2}
\end{equation}すなわち
\begin{equation}
P(x) = f'(x) \tag{3}
\end{equation}となるf(x)を求めると、解くことができます。
式(1)に式(3)を代入し、両辺にを掛けると、
\begin{equation}
e^{f(x)} \frac{dy}{dx} + e^{f(x)}f'(x)\ y = e^{f(x)}Q(x) \tag{4}
\end{equation}となります。
ここで、
\begin{equation}
\frac{d}{dx} \left( e^{f(x)}y \right) = e^{f(x)} \frac{dy}{dx} + e^{f(x)}f'(x)y
\end{equation}なので、式(4)は
\begin{equation}
\frac{d}{dx} \left( e^{f(x)}y \right) - e^{f(x)}Q(x) = 0 \tag{5}
\end{equation}に変形することができます。
式(5)は斉次の微分方程式です。しかも変数を分離できる形です。
式(5)より、
\begin{equation}
e^{f(x)}y = \int e^{f(x)}Q(x) \ dx
\end{equation}となります。
よって、式(1)の解は、
\begin{equation}
y = e^{-f(x)}\int e^{f(x)}Q(x) \ dx
\end{equation}となります。
式(2)を代入すると、
\begin{equation}
y = e^{-\int P(x)\ dx}\int e^{\int P(x)\ dx}Q(x) \ dx
\end{equation}となります。
