\begin{equation}
\int \log x \ dx = x(\log x -1) +C
\end{equation}
この式を導くには少し工夫が必要です。
部分積分による導出
式中に明示的に出て来ない1を
\begin{equation}
1 = (x)'
\end{equation}と見て、部分積分を用います。
\begin{eqnarray}
\int \log x \ dx &=& \int (x)' \log x \ dx \\
&=& x \log x - \int x \cdot \frac{1}{x} dx \\
&=& x \log x -x +C
\end{eqnarray}
となります。
置換積分による導出
まず、
\begin{equation}
t = \log x \tag{1}
\end{equation}と置きます。
\begin{equation}
x = e^t \tag{2}
\end{equation}なので、
\begin{equation}
dx = e^t dt
\end{equation}です。したがって、
\begin{equation}
\int \log x \ dx = \int t e^t dt \tag{3}
\end{equation}となります。
さらに、
\begin{equation}
e^t = (e^t)'
\end{equation}と見て、置換積分を用います。
式(2)は、
\begin{eqnarray}
\int \log x \ dx &=& \int t (e^t)' dt \\
&=& te^t -\int e^t dt \\
&=& (t -1)e^t +C \tag{4}
\end{eqnarray}
となります。
ここで再び式(1), (2)を用いると、式(4)は
\begin{equation}
\int \log x \ dx = (\log x -1)x +C
\end{equation}となります。
