\begin{equation}
z^6 = 64
\end{equation}を満たすを全て求めよ。
\begin{equation}
z^6 = 64 \tag{1}
\end{equation}を満たすは複素数です。
絶対値と偏角
に分けて考えていきます。
\begin{equation}
z = |z|e^{i \theta} \tag{2}
\end{equation}です。
\begin{equation}
z^6 = |z|^6 e^{6i \theta}
\end{equation}なので、式(1)は
\begin{equation}
|z|^6 e^{6i \theta} = 64 \ e^{2n \pi i} \quad (n:整数) \tag{3}
\end{equation}となります。
まず、絶対値を考えます。
\begin{equation}
|z|^6 = 64
\end{equation}です。因数分解すると、
\begin{equation}
(|z| -2)(|z|^5 + 2|z|^4 + 4|z|^3 + 8|z|^2 + 16|z| +32) = 0 \tag{4}
\end{equation}となります。
そもそもなので、
\begin{equation}
|z|^5 + 2|z|^4 + 4|z|^3 + 8|z|^2 + 16|z| +32 > 0
\end{equation}です。
したがって、式(4)を満たすのは、
\begin{equation}
|z| = 2 \tag{5}
\end{equation}のみとなります。
次に偏角を考えます。
\begin{equation}
6\theta = 2n\pi
\end{equation}なので、
\begin{equation}
\theta = \frac{n}{3} \pi \tag{6}
\end{equation}となります。
任意の整数に対して
\begin{equation}
e^{2m\pi i} = 1
\end{equation}なので、式(6)は
\begin{equation}
\theta = 0, \ \frac{1}{3}\pi, \ \frac{2}{3}\pi, \ \pi, \ \frac{4}{3}\pi, \ \frac{5}{3}\pi
\end{equation}となります。
\begin{equation}
e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta
\end{equation}なので、
\begin{equation}
e^{i\theta} = 1, \ \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i, \ -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i, \ -1, \ -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i, \ -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i \tag{7}
\end{equation}が得られます。
式(2), (5), (7)より、式(1)を満たすzは、
\begin{eqnarray}
z &=& |z|e^{i\theta} \\
&=& 2, \ 1+\sqrt{3}\ i, \ -1+\sqrt{3}\ i, \ -2, \ -1-\sqrt{3}\ i, \ -1+\sqrt{3}\ i
\end{eqnarray}
となります。
複号を使って書くと、
\begin{equation}
z = \pm 2, \ \pm 1 \pm \sqrt{3}\ i \quad (複号任意)
\end{equation}となります。
