斉次2階線型微分方程式の典型例を紹介します。
\begin{equation}
y'' = -k^2 y \quad (k>0) \tag{1}
\end{equation}の一般解は、
\begin{equation}
y = C_1 e^{ikx} + C_2 e^{-ikx} \quad (C_1, C_2: 任意定数)
\end{equation}または
\begin{equation}
y = A \cos kx + B \sin kx \quad (A,B: 任意定数)
\end{equation}
まずy'を別の表記にします。
\begin{equation}
\frac{d^2 y}{dx^2} + k^2 y =0 \tag{1'}
\end{equation}
この式は、次のように変形できます。
\begin{equation}\left( \frac{d}{dx} -ik \right) \left( \frac{d}{dx} +ik \right) y =0
\end{equation}これより、
\begin{equation}
\left( \frac{d}{dx} -ik \right) y =0 \tag{2}
\end{equation}または
\begin{equation}
\left( \frac{d}{dx} +ik \right) y=0 \tag{3}
\end{equation}です。
式(2), (3)の一般解はそれぞれ
\begin{eqnarray}
y &=& C_1 e^{ikx} &\quad (C_1: 任意定数)\tag{4} \\
y &=& C_2 e^{-ikx} &\quad (C_2: 任意定数)\tag{5}
\end{eqnarray}
です。
変数分離形の例 その4 - 数式で独楽する
式(4), (5)より、式(1)の一般解は、
\begin{equation}
y = C_1 e^{ikx} + C_2 e^{-ikx} \quad (C_1, C_2: 任意定数) \tag{6}
\end{equation}となります。
斉次線型微分方程式の解の1次結合 - 数式で独楽する
この式に手を加えます。
オイラーの公式
指数関数の級数展開とオイラーの公式 - 数式で独楽する
\begin{equation}
e^{i \theta} = \cos \theta + i \sin \theta
\end{equation}を式(6)に用います。
\begin{eqnarray}
y &=& C_1 (\cos kx + i \sin kx) + C_2 (\cos kx - i \sin kx) \\
&=& (C_1 + C_2) \cos kx +i(C_1 - C_2) \sin kx \tag{7}
\end{eqnarray}
ここで、
\begin{eqnarray}
A &=& C_1 + C_2 \\
B &=& i(C_1 - C_2)
\end{eqnarray}と置くと、式(7)は
\begin{equation}
y = A \cos kx + B \sin kx \quad (A,B: 任意定数) \tag{8}
\end{equation}となります。
