非斉次線型微分方程式の解法

非斉次線型微分方程式
\begin{equation}
F(y) = R(x)
\end{equation}の特殊解を $y_s$ 、
斉次形
\begin{equation}
F(y) = 0
\end{equation}の一般解を $y_g$ とすると、
元の非斉次線型微分方程式の一般解は
\begin{equation}
y_s + y_g
\end{equation}で表すことができます。

非斉次の微分方程式はややこしいですが、

線型である
斉次形の一般解を求めることができる
非斉次形の特殊解を求めることができる

という条件であれば、非斉次形の一般解を求めることができる、というものです。
非斉次形の特殊解ですが、何か1つでも求めることができればよいのです。*1

冒頭で掲げているF(y)は、
\begin{equation}
F(y) = y^{(n)} + g_1 (x) y^{(n -1)} + g_2 (x) y^{(n -2)} + \cdots + g_{n -2} (x) y'' + g_{n -1} (x) y' + g_n (x) y
\end{equation}なる形をしています。初項 $y^{(n)}$ に掛かる関数は、適当な操作で1とすることができます。この形でも一般性は失いません。

証明は意外と簡単です。

ます、
\begin{equation}
F(y) = R(x) \tag{1}
\end{equation}の特殊解が $y_s$ であるので、
\begin{equation}
F(y_s) = R(x) \tag{2}
\end{equation}が成り立ちます。

次に
\begin{equation}
F(y) = 0 \tag{3}
\end{equation}の一般解が $y_g$ であるので、
\begin{equation}
F(y_g) = 0 \tag{4}
\end{equation}が成り立ちます。

式(2), (4)を辺々相加えます。
\begin{equation}
F(y_s) + F(y_g) = R(x) \tag{5}
\end{equation}

F(y)は線型なので、
\begin{equation}
F(y_s) + F(y_g) = F(y_s + y_g)
\end{equation}です。したがって式(5)は
\begin{equation}
F(y_s + y_g) = R(x) \tag{6}
\end{equation}となります。

式(6)を式(1)と比べてみましょう。
\begin{equation}
y = y_s + y_g
\end{equation}は微分方程式 $F(y) = R(x)$ の解であることが分かります。