非斉次線型微分方程式
\begin{equation}
F(y) = R_1(x)
\end{equation}の特殊解を、
\begin{equation}
F(y) = R_2(x)
\end{equation}の特殊解をとすると、
非斉次線型微分方程式
\begin{equation}
F(y) = C_1 R_1(x) + C_2 R_2(x)
\end{equation}の特殊解は
\begin{equation}
y = C_1 y_1 + C_2 y_2
\end{equation}となります。
非斉次の微分方程式の非斉次項が複雑なものでも、
- 単純な関数の和に分解し、*1
- それぞれの特殊解を求め、
- 重ね合わせる
と、特殊解を求めることができる、というものです。
非斉次形の特殊解ですが、何か1つでも求めることができればよいのです。*2
冒頭で掲げているは、
\begin{equation}
F(y) = y^{(n)} + g_1 (x) y^{(n -1)} + g_2 (x) y^{(n -2)} + \cdots + g_{n -2} (x) y'' + g_{n -1} (x) y' + g_n (x) y
\end{equation}なる形をしています。初項に掛かる関数は、適当な操作で1とすることができます。この形でも一般性は失いません。
証明は意外と簡単です。
元の微分方程式は、
\begin{equation}
F(y) = C_1 R_1(x) + C_2 R_2(x) \tag{1}
\end{equation}です。
ます、
\begin{equation}
F(y) = R_1(x) \tag{2}
\end{equation}の特殊解がであるので、
\begin{equation}
F(y_1) = R_1(x) \tag{2'}
\end{equation}が成り立ちます。
また、
\begin{equation}
F(y) = R_2(x) \tag{3}
\end{equation}の特殊解がであるので、
\begin{equation}
F(y_2) = R_2(x) \tag{3'}
\end{equation}が成り立ちます。
次に、
\begin{equation}
y = C_1 y_1 + C_2 y_2
\end{equation}の場合を考えます。
は線型なので、
\begin{eqnarray}
F(y) &=& F(C_1 y_1 + C_2 y_2) \\
&=& C_1 F(y_1) + C_2 F(y_2) \tag{4}
\end{eqnarray}
が成り立ちます。
式(4)に式(2'), (3')を代入すると、
\begin{equation}
F(C_1 y_1 + C_2 y_2) = C_1 R_1(x) + C_2 R_2(x) \tag{5}
\end{equation}となります。
式(5)を式(1)と比較します。
\begin{eqnarray}
F(C_1 y_1 + C_2 y_2) &=& C_1 R_1(x) + C_2 R_2(x) \tag{5} \\
F(y) &=& C_1 R_1(x) + C_2 R_2(x) \tag{1}
\end{eqnarray}
これより、
\begin{equation}
y = C_1 y_1 + C_2 y_2
\end{equation}は式(1)つまり
\begin{equation}
F(y) = C_1 R_1(x) + C_2 R_2(x)
\end{equation}の特殊解であることが分かります。
