斉次線型微分方程式の解の1次結合

階数が $n$ である斉次線型微分方程式
\begin{equation}
F(y) = 0
\end{equation}の $n$ 個の解が $y_1,y_2, \cdots , y_n$ であれば、
\begin{equation}
C_1 y_1 + C_2 y_2 + \cdots + C_n y_n \quad (C_1, C_2, \cdots , C_n :任意定数)
\end{equation}も解となります。

冒頭で掲げている $F(y)$ は、
\begin{equation}
F(y) = y^{(n)} + g_1 (x) y^{(n -1)} + g_2 (x) y^{(n -2)} + \cdots + g_{n -2} (x) y'' + g_{n -1} (x) y' + g_n (x) y
\end{equation}なる形をしています。初項 $y^{(n)}$ に掛かる関数は、適当な操作で1とすることができます。この形でも一般性は失いません。

\begin{equation}
F(y) = 0 \tag{1}
\end{equation}の解が $y_1,y_2, \cdots , y_n$ であるので、
\begin{equation}
F(y_i) = 0 \quad (i = 1, 2, \cdots , n) \tag{2}
\end{equation}が成り立ちます。

次に、 $F(C_1 y_1 + C_2 y_2 + \cdots + C_n y_n) \quad (C_1, C_2, \cdots , C_n :任意定数)$ を考えます。
$F(y)$ は線型なので、*1
\begin{equation}
F(C_1 y_1 + C_2 y_2 + \cdots + C_n y_n) = C_1 F(y_1) + C_2 F(y_2) + \cdots + C_n F(y_n)
\end{equation}となります。
ここで式(2)を用いると、
\begin{equation}
F(C_1 y_1 + C_2 y_2 + \cdots + C_n y_n) =0
\end{equation}となり、 $y = C_1 y_1 + C_2 y_2 + \cdots + C_n y_n$ が式(1)を満たしていることが分かります。