阪大 2000年 別解

を実数、とする。が方程式
\begin{equation}
x^3 + px + 10 =0
\end{equation}の解であるとき、の値を求めよ。

係数が実数である方程式
\begin{equation}
x^3 + px + 10 =0 \tag{1}
\end{equation}は
\begin{equation}
x = p + qi
\end{equation}を解に持つので、共軛複素数
\begin{equation}
p - qi
\end{equation}も解に持ちます。
残り1つの解をrとします。
つまり、式(1)の解を
\begin{equation}
\left \{ \begin{array}{l}
\alpha = p + qi \\
\beta = p -qi \\
\gamma = r
\end{array} \right. \tag{2}
\end{equation}とします。

3次方程式の解と係数の関係*1により、
\begin{equation}
\left \{ \begin{array}{c c c}
\alpha + \beta + \gamma &=& 0 \\
\beta\gamma + \gamma\alpha + \alpha\beta &=& p \\
\alpha\beta\gamma &=& -10
\end{array} \right.
\end{equation}となります。式(2)を当てはめると、以下の3つの式が成り立ちます。
\begin{eqnarray}
2p + r &=& 0 \tag{3} \\
p^2 + q^2 + 2p r &=& p \tag{4} \\
(p^2 + q^2)r &=& -10 \tag{5}
\end{eqnarray}
式(3), (4)より
\begin{equation}
q^2 = 3p^2 + p \tag{6}
\end{equation}となります。
さらに式(2), (5), (6)より
\begin{equation}
(4p^2 + p)(-2p) = -10
\end{equation}つまり
\begin{eqnarray}
4p^3 + p^2 -5 &=& 0 \\
(p - 1)(4p^2 + 5p + 5) &=& 0 \tag{7}
\end{eqnarray}
となります。式(7)を解くと
\begin{equation}
p = 1, \ \frac{5 \pm \sqrt{55} \, i}{8}
\end{equation}ですが、pは実数であるので
式(1)を満たすのは、
\begin{equation}
p =1 \tag{9}
\end{equation}のみとなります。
式(9)を式(6)に代入すると、
\begin{equation}
q^2 = 4
\end{equation}つまり
\begin{equation}
q = \pm 2
\end{equation}となります。

以上より、設問を満たすp, qは、
\begin{equation}
p=1, \ q=\pm 2
\end{equation}と求められます。

*1:3次方程式 \begin{equation} ax^3 + bx^2 + cx+ d =0 \tag{A1} \end{equation}の解をとすると、 \begin{equation} a(x -\alpha)(x - \beta)(x - \gamma) = 0 \tag{A2} \end{equation}とも書くことができます。式(A2)を展開すると、 \begin{equation} ax^3 - a(\alpha + \beta + \gamma)x^2 + a(\beta\gamma + \gamma\alpha + \alpha\beta)x - a\alpha\beta\gamma = 0 \tag{A3} \end{equation}となります。式(A1), (A3)を比較すると、 \begin{equation} \left \{ \begin{array}{c c r} \alpha + \beta + \gamma &=& -\displaystyle \frac{b}{a} \\ \beta\gamma + \gamma\alpha + \alpha\beta &=& \displaystyle \frac{c}{a} \\ \alpha\beta\gamma &=& -\displaystyle \frac{d}{a} \end{array} \right. \end{equation}となります。