を実数、
とする。
が方程式
\begin{equation}
x^3 + px + 10 =0
\end{equation}の解であるとき、
素直に、
\begin{equation}
x^3 + px + 10 =0
\end{equation}に
\begin{equation}
x = p + qi
\end{equation}を代入します。
\begin{equation}
p^3 + 3p^2 qi - 3pq^2 - q^3 i + p^2 + pq i +10 = 0
\end{equation}
整理します。
\begin{equation}
(p^3 - 3pq^2 + p^2 + 10) + (3p^2 q - q^3 + pq)i = 0
\end{equation}これより、
\begin{eqnarray}
p^3 - 3pq^2 + p^2 + 10 &=& 0 \tag{1} \\
3p^2 q - q^3 + pq &=& 0 \tag{2}
\end{eqnarray}
のいずれもが成り立ちます。
設問の条件でであるので、式(2)の両辺をqで割ることができます。
\begin{equation}
3p^2 - q^2 + p = 0
\end{equation}
したがって、
\begin{equation}
q^2 = 3p^2 + p \tag{3}
\end{equation}となります。
式(3)を式(1)に代入します。
\begin{equation}
p^3 - 3p(3p^2 + p) + p^2 + 10=0
\end{equation}
整理します。
\begin{eqnarray}
-8p^3 -2p^2 +10 &=& 0 \\
4p^3 + p^2 -5 &=& 0 \\
(p - 1)(4p^2 + 5p + 5) &=& 0 \tag{4}
\end{eqnarray}
全ての実数pに対して
\begin{equation}
4p^2 + 5p +5 = 4 \left( p + \frac{5}{8} \right) ^2 + \frac{55}{16} > 0
\end{equation}なので、式(1)を満たすのは、
\begin{equation}
p =1 \tag{5}
\end{equation}のみとなります。
式(5)を式(3)に代入すると、
\begin{equation}
q^2 = 4
\end{equation}つまり
\begin{equation}
q = \pm 2
\end{equation}となります。
以上より、設問を満たすp, qは、
\begin{equation}
p=1, \ q=\pm 2
\end{equation}と求められます。
