東大 2019年理科第6問その3 - 数式で独楽する

複素数 $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ および実数 $a,b$ が、次の3条件をみたしながら動く。
条件1: $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ は相異なる。
条件2: $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ は4次方程式 $z^4 -2z^3 -2az +b =0$ の解である。
条件3: 複素数 $\alpha \beta +\gamma \delta$ の実部は0であり、虚部は0ではない。
(1) $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ のうち、ちょうど2つが実数であり、残りの2つは互いに共役な複素数であることを示せ。
(2) $b$ を $a$ で表せ。
(3) 複素数 $\alpha +\beta$ がとりうる範囲を複素数平面上に示せ。

小問(1)の解答例
小問(2)の解答例
小問(3)の解答例
解説

小問(1)の解答例

続きです。
東大 2019年理科第6問その1 - 数式で独楽する

小問(2)の解答例

続きです。
東大 2019年理科第6問その2 - 数式で独楽する

小問(3)の解答例

小問(2)と同様、 $s=0$ と $\beta +\gamma =0$ のそれぞれについて見ていきます。

(i) $s=0$ の場合
式(6), (7)より、 $\beta, \gamma$ は、
\begin{equation}
z^2 -2z -a = 0
\end{equation}の解なので、
\begin{equation}
\beta = 1 \pm \sqrt{1 +a} \quad (1+ a > 0) \tag{12}
\end{equation}となります。*1

また、
\begin{equation}
\alpha +\delta = 0 \tag{13}
\end{equation}です。
式(4), (11)より
\begin{equation}
\alpha\beta\gamma\delta = b = -a^2
\end{equation}となり、式(7)も用いて
\begin{eqnarray}
-a \alpha\delta &=& -a^2 \\
\therefore \quad \alpha\delta &=& a \tag{14}
\end{eqnarray}を得ます。
式(13), (14)より、 $\alpha, \delta$ は
\begin{equation}
z^2 +a = 0
\end{equation}の解なので、
\begin{equation}
\alpha = \pm \sqrt{a} \, i \quad (a > 0) \tag{15}
\end{equation}となります。*2

式(12), (15)より、
\begin{equation}
\alpha +\beta = 1 \pm \sqrt{1 +a} \pm \sqrt{a} \, i \quad (a > 0)
\end{equation}を得ます。複号は任意です。

ここで
\begin{eqnarray}
p &=& 1 \pm \sqrt{1 +a} \\
q &=& \pm \sqrt{a}
\end{eqnarray}とすると、
\begin{eqnarray}
(p -1)^2 &=& 1 +a \\
q^2 &=& a
\end{eqnarray}より
\begin{equation}
(p -1)^2 -q^2 =1
\end{equation}となります。ただし $q \ne 0$ です。

(ii) $\beta +\gamma = 0$ の場合
式(8)より $\beta, \gamma$ は
\begin{equation}
z^2 +a = 0
\end{equation}の解なので、
\begin{equation}
\beta = \pm \sqrt{-a} \quad (a < 0) \tag{16}
\end{equation}となります。

また、式(9)より
\begin{equation}
\alpha +\delta = 2s = 1 \tag{17}
\end{equation}です。
式(4), (11)より
\begin{equation}
\alpha\beta\gamma\delta = b = -a^2
\end{equation}で、式(10)も合わせて
\begin{eqnarray}
-a \alpha\delta &=& -a^2 \\
\therefore \quad \alpha\delta &=& -a \tag{18}
\end{eqnarray}となります。

式(17), (18)より、 $\alpha, \gamma$ は
\begin{equation}
z^2 -2z -a = 0
\end{equation}の解なので、
\begin{equation}
\alpha = 1 \pm \sqrt{-1 -a} \, i \quad (1 +a < 0) \tag{19}
\end{equation}となります。

式(16), (19)より、
\begin{equation}
\alpha +\beta = 1 \pm \sqrt{-a} \pm \sqrt{-1 -a} \, i \quad (a < -1)
\end{equation}を得ます。複号は任意です。

ここで、
\begin{eqnarray}
p &=& 1 \pm \sqrt{-a} \\
q &=& \pm \sqrt{-1 -a}
\end{eqnarray}とすると、
\begin{eqnarray}
(p -1)^2 &=& -a \\
q^2 &=& -1 -a
\end{eqnarray}より、
\begin{equation}
(p -1)^2 -q^2 = 1
\end{equation}となります。ただし、 $q \ne 0$ です。

(i), (ii)のいずれの場合も
\begin{eqnarray}
(p -1)^2 -q^2 &=& 1 \quad (q \ne 0) \\
p &=& \Re (\alpha +\beta) \\
q &=& \Im (\alpha +\beta)
\end{eqnarray}となります。

図示するとこのようになります。
緑の線です。○は含みません。
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