2005年前期京大理系第3問 - 数式で独楽する

$\alpha, \beta, \gamma$ は相異なる複素数で、
\begin{equation}
\alpha +\beta +\gamma = \alpha^2 +\beta^2 +\gamma^2 = 0
\end{equation}を満たすとする。このとき、 $\alpha, \beta, \gamma$ の表す複素平面上の3点を結んで得られる三角形はどのような三角形か。

解答例
解説

解答例

いずれかを0、例えば $\gamma = 0$ とすると
\begin{equation}
\alpha +\beta = \alpha^2 +\beta^2 = 0
\end{equation}となり、
\begin{equation}
\alpha = \beta = \gamma = 0
\end{equation}となります。
したがって $\alpha, \beta, \gamma$ はいずれも0ではありません。

\begin{equation}
\alpha +\beta +\gamma = 0 \tag{1}
\end{equation}より、
\begin{equation}
(\alpha +\beta +\gamma)^2 = \alpha^2 +\beta^2 +\gamma^2 +2(\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha) = 0
\end{equation}です。
\begin{equation}
\alpha^2 +\beta^2 +\gamma^2 = 0
\end{equation}なので、
\begin{equation}
\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha = 0 \tag{2}
\end{equation}を得ます。
ここで
\begin{equation}
\alpha \beta \gamma = -p^3 \ (\ne 0) \tag{3}
\end{equation}とおくと、式(1), (2), (3)により $\alpha, \beta, \gamma$ は
\begin{equation}
z^3 = p^3 \tag{4}
\end{equation}の解となっていることが分かります。
解と係数の関係 - 数式で独楽する

式(4)は
\begin{equation}
(z -p)(z^2 +pz +p^2) = 0
\end{equation}と変形できるので、解は
\begin{equation}
z = p, \ \omega p, \ \omega^2 p \quad \left( \omega = \frac{-1 +\sqrt{3} \, i}{2} \right)
\end{equation}となります。書き換えて、
\begin{equation}
z = p, \ p \, e^{2 \pi i/3}, \ p \, e^{-2 \pi i/3}
\end{equation}を得ます。

これは、 $\alpha, \beta, \gamma$ が複素平面上で