のとき、
\begin{equation}
\left( \frac{\beta^2 -4\beta +8}{\alpha^{n +2} -\alpha^{n +1} +2\alpha^n +4\alpha^{n -1} +\alpha^3 -2\alpha^2 +5\alpha -2} \right)^3
\end{equation}を求めよ。は2以上の整数、
は虚数単位である。
解答例
求める値をとします。
\begin{eqnarray}
\alpha +\beta &=& 2 \\
\alpha \beta &=& 4
\end{eqnarray}なので、は
\begin{equation}
x^2 -2x +4 = 0 \tag{1}
\end{equation}の解です。
解と係数の関係 - 数式で独楽する
分子は、
\begin{eqnarray}
\beta^2 -4\beta +8 &=& -2\beta +4 \\
&=& 2\alpha
\end{eqnarray}となります。
分母は、
\begin{eqnarray}
&& \alpha^{n +2} -\alpha^{n +1} +2\alpha^n +4\alpha^{n -1} +\alpha^3 -2\alpha^2 +5\alpha -2 \\
&&= (\alpha^2 -2\alpha +4)(\alpha^n +\alpha^{n -1} +\alpha) +\alpha -2 \\
&&= \alpha -2 \\
&&= -\beta
\end{eqnarray}です。
したがって、
\begin{eqnarray}
A &=& \left( \frac{2\alpha}{-\beta} \right)^3 \\
&=& -8 \left( \frac{\alpha^3}{\beta^3} \right)
\end{eqnarray}となります。
さて、式(1)の両辺にを掛けると
\begin{equation}
x^3 +8 = 0
\end{equation}です。
したがって、
\begin{equation}
\alpha^3 = \beta^3 = -8
\end{equation}が成り立ちます。
よって
\begin{equation}
A = -8 \left( \frac{-8}{-8} \right) = -8
\end{equation}です。
解説
本文の通り、が満たしている2次方程式を見つけ、次数を下げるのが吉です。
ちなみに、
\begin{eqnarray}
\alpha &=& -2\exp \left( -\frac{2\pi \, i}{3} \right) \\
\beta &=& -2\exp \frac{2\pi \, i}{3}
\end{eqnarray}です。
