数列の極限

開平機能のない電卓で平方根を求める の補足 - 数式で独楽する
の記事を補足します。

数列がとしたときにに収束することを
\begin{equation}
\lim_{n \to \infty} a_n = a
\end{equation}で表します。

整数を限りなく大きくすると、は限りなくに近付く

ということですが、厳密さが要求される場合、こういう表現をします。

任意のに対し、あるが存在し、全てのに対して
\begin{equation}
|a_n - a| < \epsilon
\end{equation}が成り立つ

とになります。

記号では次のように書きます。
\begin{equation}
\forall \epsilon > 0, \, \exists N \in \mathbb{N} \, \mathrm{s.t.} \, \forall n \in \mathbb{N} \, [ n > N \Rightarrow |a_n - a| < \epsilon ]
\end{equation}
式中、
は「全ての」「任意の」、
は「存在する」
を意味します。それぞれallとexistsを記号化しています。
また、s.t.はsuch thatの略です。

「は任意の正の数」というのがミソです。
をいくら小さくしても対応するが存在するということで、
極限を定量的に表現しています。

具体例1

数列がそれぞれに収束するときのの極限を求めます。

\begin{equation}
\forall \epsilon_1, \epsilon_2 > 0, \, \exists N \in \mathbb{N} \, \mathrm{s.t.} \, \forall n \in \mathbb{N} \, [ n > N \Rightarrow |a_n - a| < \epsilon_1, \, |b_n - b| < \epsilon_2 ]
\end{equation}なので、では
\begin{eqnarray}
- \epsilon_1 &<& a_n - a &<& \epsilon_1 \\
- \epsilon_2 &<& b_n - b &<& \epsilon_2
\end{eqnarray}です。これより、
\begin{equation}
- \frac{\epsilon_1 + \epsilon_2}{2} < \frac{a_n + b_n}{2} - \frac{a + b}{2} < \frac{\epsilon_1 + \epsilon_2}{2}
\end{equation}です。ここで
\begin{equation}
\epsilon = \frac{\epsilon_1 + \epsilon_2}{2}
\end{equation}と置くと、で
\begin{equation}
-\epsilon < \frac{a_n + b_n}{2} - \frac{a + b}{2} < \epsilon
\end{equation}となります。
また、は任意の正の数なので、も任意の正の数です。
つまり、
\begin{equation}
\forall \epsilon, \, \exists N \in \mathbb{N}, \, \mathrm{s.t.} \, \forall n \in \mathbb{N}\, \left[ n > N \Rightarrow \left| \frac{a_n + b_n}{2} - \frac{a + b}{2} \right| < \epsilon \right]
\end{equation}が成り立ちます。

したがって、
\begin{equation}
\lim_{n \to \infty}a_n = a, \quad \lim_{n \to \infty}b_n = b
\end{equation}のとき、
\begin{equation}
\lim_{n \to \infty}\frac{a_n + b_n}{2} = \frac{a + b}{2}
\end{equation}となります。