ディラックのデルタ関数は
\begin{equation}
\delta (x) = \left \{ \begin{array}{cl}
0 & (x \ne 0) \\
\infty & (x = 0)
\end{array} \right.
\end{equation}
というもので、
\begin{eqnarray}
&& \int_{-\infty}^\infty \delta (x) \, dx = 1 \\
&& \int_{-\infty}^\infty f(x) \, \delta (x -a) \, dx = f(a)
\end{eqnarray}なる性質を満たします。
次の関数
\begin{equation}
\delta_\epsilon (x) = \frac{1}{\pi} \frac{\epsilon}{x^2 +\epsilon^2}
\end{equation}を考えます。
この関数は、
\begin{eqnarray}
\int_{-\infty}^\infty \delta_\epsilon (x) \, dx &=& \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^\infty \frac{\epsilon}{x^2 +\epsilon^2} \, dx \\
&=& \frac{1}{\pi} \left[ \ \tan^{-1} \frac{x}{\epsilon} \ \right]_{-\infty}^\infty \\
&=& \frac{1}{\pi} \left \{ \frac{\pi}{2} -\left( -\frac{\pi}{2} \right) \right \} \\
&=& 1
\end{eqnarray}を満たします。*1
また、
\begin{equation}
\delta_\epsilon (0) = \frac{1}{\epsilon}
\end{equation}です。
としていくと、
- 山の幅はどこまでも狭くなります。
- 山の頂上はどこまでも高くなります。
- 裾の高さはどこまでも0に近付きます。
図はを示しています。
山の低い方からです。
つまり、
\begin{equation}
\lim_{\epsilon \to 0} \delta_\epsilon (x) = \delta (x)
\end{equation}と見なすことができます。
*1:\begin{equation} \tan t = \frac{x}{\epsilon} \end{equation}と置くと、 \begin{equation} (1 +\tan^2 t) \, dt = \frac{dx}{\epsilon} \end{equation}で \begin{array}{c|ccc} \hline x & -\infty & \to & \infty \\ \hline t & -\pi/2 & \to & \pi/2 \\ \hline \end{array}なので、 \begin{eqnarray} \int_{-\infty}^\infty \frac{\epsilon}{x^2 +\epsilon^2} \,dx &=& \int_{-\infty}^\infty \cfrac{\cfrac{1}{\epsilon}}{\cfrac{x^2}{\epsilon^2} +1} \, dx \\ &=& \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{1 +\tan^2 t}{\tan^2 t +1} \, dt \\ &=& \int_{-\pi/2}^{\pi/2} dt \\ &=& \biggl[ \ t \ \biggr]_{-\pi/2}^{\pi/2} \\ &=& \pi \end{eqnarray}ともできます。
