ディラックのデルタ関数は
\begin{equation}
\delta (x) = \left \{ \begin{array}{cl}
0 & (x \ne 0) \\
\infty & (x = 0)
\end{array} \right.
\end{equation}
というもので、
\begin{eqnarray}
&& \int_{-\infty}^\infty \delta (x) \, dx = 1 \\
&& \int_{-\infty}^\infty f(x) \, \delta (x -a) \, dx = f(a)
\end{eqnarray}なる性質を満たします。
フーリエ変換
\begin{equation}
\hat{\delta}(q) = 1
\end{equation}
ディラックのデルタ関数のフーリエ変換 - 数式で独楽する
別の表現
\begin{eqnarray}
\delta_\epsilon (x) &=& \left \{ \begin{array}{cl}
\displaystyle \frac{1}{\epsilon} & \displaystyle \left( |x| \leqq \frac{\epsilon}{2} \right) \\
0 & \displaystyle \left( |x| > \frac{\epsilon}{2} \right)
\end{array} \right. \\
\delta(x) &=& \lim_{\epsilon \to 0} \delta_\epsilon (x)
\end{eqnarray}
ディラックのデルタ関数の別表現その1 - 数式で独楽する
ディラックのデルタ関数の別表現その1の2 - 数式で独楽する
\begin{equation}
\lim_{\sigma \to 0} f_{0,\sigma} (x) = \lim_{\sigma \to 0} \frac{1}{\sqrt{\pi} \, \sigma} \, \exp \left( -\frac{x^2}{2\sigma} \right) = \delta (x)
\end{equation}
ディラックのデルタ関数の別表現その2 - 数式で独楽する
\begin{equation}
\delta (x) = \lim_{\epsilon \to 0} \frac{1}{\pi} \frac{\epsilon}{x^2 +\epsilon^2}
\end{equation}
ディラックのデルタ関数の別表現その3 - 数式で独楽する
\begin{equation}
\delta (x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty d q \, e^{iqx}
\end{equation}
ディラックのデルタ関数の別表現その4 - 数式で独楽する
ディラックのデルタ関数の別表現その4の2 - 数式で独楽する
