東大 2019年 理科 第5問 その2

以下の問いに答えよ。

(1) を1以上の整数とする。についての方程式
\begin{equation}
x^{2n -1} = \cos x
\end{equation}はただ1つの実数解をもつことを示せ。

(2) (1)で定まるに対し、を示せ。

(3) (1)で定まる数列に対し、
\begin{equation}
a= \lim_{n \to \infty} a_n, \quad b = \lim_{n \to \infty} {a_n}^n, \quad c = \lim_{n \to \infty} \frac{{a_n}^n -b}{a_n -a}
\end{equation}を求めよ。

続きです。
東大 2019年 理科 第5問 その1 - 数式で独楽する

小問(1), (2)の解答例・抄

\begin{eqnarray}
a_n &<& 1 \\
\cos a_n &>& \cos 1
\end{eqnarray}

小問(3)の解答例

aについて

方程式の解は
\begin{equation}
{a_n}^{2n-1} = \cos a_n \tag{1}
\end{equation}を満たします。これより、
\begin{equation}
\log a_n = \frac{\log (\cos a_n)}{2n -1} \tag{2}
\end{equation}を得ます。

式(2)と小問(2)の結果により、
\begin{equation}
\frac{\log (\cos 0)}{2n -1} = 0 > \frac{\log (\cos a_n)}{2n -1} > \frac{\log (\cos 1)}{2n -1}
\end{equation}が成り立ちます。
ここでとすると、右辺→0となります。
したがって、
\begin{equation}
\lim_{n \to \infty} \frac{\log (\cos a_n)}{2n -1} = \lim_{n \to \infty} \log a_n = 0
\end{equation}を得ます。

よって、
\begin{equation}
a = \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} e^{\log a_n} = e^0 =1 \tag{3}
\end{equation}となります。
数列の極限 その2 はさみうちの原理 - 数式で独楽する

bについて

式(1)より、
\begin{eqnarray}
{a_n}^{2n} &=& a_n \cos a_n \\
{a_n}^n &=& \sqrt{a_n \cos a_n}
\end{eqnarray}なので、式(3)も踏まえ、
\begin{equation}
b = \lim_{n \to \infty} {a_n}^n = \lim_{n \to \infty} \sqrt{a_n \cos a_n} = \sqrt{\cos 1} \tag{4}
\end{equation}を得ます。

cについて

\begin{equation}
f(x) = \sqrt{x \cos x}
\end{equation}とすると、
\begin{equation}
f'(x) = \frac{1}{2 \sqrt{x \cos x}} (\cos x - x \sin x) \tag{5}
\end{equation}です。
べき乗の微分 その2 - 数式で独楽する
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また、
\begin{equation}
x = a_n \tag{6}
\end{equation}とすると、のとき
\begin{equation}
x \to 1 \tag{7}
\end{equation}となります。

式(3)~(7)をまとめ、
\begin{eqnarray}
c &=& \lim_{n \to \infty} \frac{{a_n}^n -b}{a_n -a} \\
&=& \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{a_n \cos a_n} - \sqrt{\cos 1}}{a_n -1}
&=& \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x \cos x} - \sqrt{\cos 1}}{x -1} \\
&=& \lim_{x \to 1} \frac{f(x) - f(1)}{x -1} \\
&=& f'(1) \\
&=& \frac{\cos 1 -\sin 1}{2 \sqrt{\cos 1}}
\end{eqnarray}を得ます。
微分について - 数式で独楽する

小問(3)の解説

aについて

\begin{equation}
\lim_{n \to \infty} x^{2n -1} = \left \{ \begin{array}{rl}
-\infty & (x < -1) \\
-1 & (x =-1) \\
0 & (-1 < x < 1) \\
1 & (x =1) \\
+ \infty & (1< x)
\end{array} \right.
\end{equation}なのでとなることは言えそうです。
収束を説明するのは本文の方が良さそうです。

bについて

式(1)からを「で」表すところがミソです。

cについて

式の形は、微分の定義になっています。