ディラックのデルタ関数は
\begin{equation}
\delta (x) = \left \{ \begin{array}{cl}
0 & (x \ne 0) \\
\infty & (x = 0)
\end{array} \right.
\end{equation}
というもので、
\begin{eqnarray}
&& \int_{-\infty}^\infty \delta (x) \, dx = 1 \\
&& \int_{-\infty}^\infty f(x) \, \delta (x -a) \, dx = f(a)
\end{eqnarray}なる性質を満たします。
次のようなステップ状のパルスを考えます。
\begin{equation}
\delta_\epsilon (x) = \left \{ \begin{array}{cl}
\displaystyle \frac{1}{\epsilon} & \displaystyle \left( |x| \leqq \frac{\epsilon}{2} \right) \\
0 & \displaystyle \left( |x| > \frac{\epsilon}{2} \right)
\end{array} \right.
\end{equation}
これは、
\begin{eqnarray}
\int_{-\infty}^\infty \delta_\epsilon (x) \, dx &=& \int_{-\epsilon/2}^{\epsilon/2} \frac{1}{\epsilon} \, dx \\
&=& \frac{1}{\epsilon} \cdot \epsilon \\
&=& 1
\end{eqnarray}を満たします。
また、とすると、パルスの
- 幅はどこまでも狭くなり、
- 高さはどこまでも高くなる
ことが分かります。
\begin{equation}
\lim_{\epsilon \to 0} \delta_\epsilon (0) = \infty
\end{equation}です。
つまり、
\begin{equation}
\lim_{\epsilon \to 0} \delta_\epsilon (x) = \delta (x)
\end{equation}と見なすことができます。
