円周率とネイピア数の不思議な関係 おまけ

円周率とネイピア数の関係には、次のようなものもあります。

\begin{equation}
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2}dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}}
\end{equation}

これは
\begin{equation}
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}dx = \sqrt{\pi}
\end{equation}を踏まえると、置換積分で求められます。
円周率とネイピア数の不思議な関係 - 数式で独楽する

積分において
\begin{equation}
x' = \sqrt{a} \, x
\end{equation}とすると
\begin{equation}dx' = \sqrt{a} \, dx
\end{equation}で、積分範囲は
\begin{equation}-\infty < x' < \infty
\end{equation}です。*1
したがって、
\begin{eqnarray}
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2}dx &=& \frac{1}{\sqrt{a}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-{x'}^2}dx' \\
&=& \sqrt{\frac{\pi}{a}}
\end{eqnarray}となります。

正規分布の確率密度関数
\begin{equation}
N(m, \sigma^2) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}\, \sigma}\, e^{\raise{1ex} \hbox{$\displaystyle \scriptsize -\frac{(x - m)^2}{2\sigma ^2}$}}
\end{equation}についても
\begin{eqnarray}
\int_{-\infty}^{\infty}N(m, \sigma^2) \, dx &=& \frac{1}{\sqrt{2 \pi}\, \sigma} \int_{-\infty}^\infty e^{\raise{1ex} \hbox{$\displaystyle \scriptsize -\frac{(x - m)^2}{2\sigma ^2}$}} dx \\
&=& \frac{1}{\sqrt{2 \pi}\, \sigma} \, \sigma \sqrt{2\pi} \\
&=& 1
\end{eqnarray}となります。*2

*1:元の積分範囲はです。元の変数の定数倍で変換しているだけなので、変換後の積分範囲もと変わりません。

*2:変換の置換は、定数倍して横にずらすことになります。積分範囲はやはりです。