円錐、角錐の体積 - 数式で独楽する

底面積 $S$ 、高さ $h$ の円錐、角錐の体積 $V$ は
\begin{equation}
V = \frac{1}{3} \, Sh
\end{equation}であることは、中学校で習います。
ですが、なぜそうなるのかは、教えてくれません。

積分を上手に使うと、求めることができます。

頂点から底面に垂線を下ろします。
頂点を $x=0$ 、底面の位置を $x=h$ とします。
変数 $x$ は頂点から底面に近付くにつれて増えていきます。
位置 $x[で円錐、角錐を底面に平行な平面で切断したときの断面積は \begin{equation} \frac{x^2}{h^2}S \end{equation}です。高さを[tex: dx$ だけ増やしたとき、増える体積 $dV$ は、
\begin{equation}
dV = \frac{x^2}{h^2} S \, dx
\end{equation}です。

したがって、
\begin{eqnarray}
V &=& \int_V dV \\
&=& \int_0^h \frac{x^2}{h^2} \, S \, dx \\
&=& \frac{S}{h^2} \left[ \frac{1}{3} \, x^3 \right]_0^h \\
&=& \frac{Sh^3}{3h^2} \\
&=& \frac{1}{3} \, Sh
\end{eqnarray}を得ます。

中学の時の先生は、こんなことをやっていました。