麻布大獣医　?年 - 数式で独楽する

素数 $p$ が自然数 $a,b$ を用いて
\begin{equation}
p = a^3 + 2a^2 b - 2ab^2 - b^3
\end{equation}と表されている。素数 $p$ の一の位を求めよ。

\begin{equation}
p = a^3 + 2a^2 b - 2ab^2 - b^3 \tag{1}
\end{equation}と表されている未知数 $p$ が素数、 $a,b$ が自然数、というのが強力な拘束条件となっています。式(1)が因数分解できれば幸せな展開になります。
式(1)の右辺の $a,b$ を入れ替えてみます。
\begin{equation}
b^3 + 2b^2 a - 2ba^2 - a^3 = -p
\end{equation}符号が入れ替わりました。したがって、 $p$ は $a-b$ を因数に持つことが分かります。

ここから本題。

式(1)は、
\begin{equation}
p = (a - b)(a^2 + 3ab + b^2) \tag{2}
\end{equation}と因数分解できます。
ところが、 $p$ は素数なので、
\begin{equation}
a - b = 1
\end{equation}または
\begin{equation}
a^2 + 3ab + b^2 = 1
\end{equation}が成り立ちます。
しかし、 $a,b$ は自然数なので、
\begin{equation}
a^2 + 3ab + b^2 = (a + b)^2 + ab \geqq 5
\end{equation}です。なお、等号成立は $a=b=1$ のときです。