行列に対する行列式を
や
と表します。
2×2行列、すなわち2行2列
\begin{equation}
A = \left( \begin{array}{cc}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{array} \right)
\end{equation}の場合、
\begin{eqnarray}
\det A &=& \det \left( \begin{array}{cc}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{array} \right) \\
|A| &=& \left| \begin{array}{cc}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{array} \right|
\end{eqnarray}と表し、
\begin{equation}
\det A = |A| = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}
\end{equation}を意味します。
本稿では、行列の積の行列式が、行列式の積となる、すなわち
\begin{eqnarray}
\det AB &=& \det A \cdot \det B \\
|AB| &=& |A||B|
\end{eqnarray}となることを見ていきます。
なお、
\begin{eqnarray}
A &=& (\boldsymbol{a}_1 \quad \boldsymbol{a}_2) \\
B &=& \left( \begin{array}{cc}
b_{11} & b_{12} \\
b_{21} & b_{22}
\end{array} \right)
\end{eqnarray}とします。
\begin{eqnarray}
AB &=& (\boldsymbol{a}_1 \quad \boldsymbol{a}_2) \left( \begin{array}{cc}
b_{11} & b_{12} \\
b_{21} & b_{22}
\end{array} \right) \\
&=& (\boldsymbol{a}_1b_{11} + \boldsymbol{a}_2b_{21} \quad \boldsymbol{a}_1b_{12} + \boldsymbol{a}_2b_{22})
\end{eqnarray}なので、
\begin{eqnarray}
|AB| &=& \left| (\boldsymbol{a}_1 \quad \boldsymbol{a}_2) \left( \begin{array}{cc}
b_{11} & b_{12} \\
b_{21} & b_{22}
\end{array} \right) \right| \\
&=& |\boldsymbol{a}_1b_{11} + \boldsymbol{a}_2b_{21} \quad \boldsymbol{a}_1b_{12} + \boldsymbol{a}_2b_{22}|
\end{eqnarray}です。
列が2ベクトルの和になっていれば、行列式も和になります。
\begin{equation}
|\boldsymbol{v}_1+\boldsymbol{v}'_1 \quad \boldsymbol{v}_2| = |\boldsymbol{v}_1 \quad \boldsymbol{v}_2| +|\boldsymbol{v}'_1 \quad \boldsymbol{v}_2|
\end{equation}
列を定数倍すると、行列式も定数倍になります。
\begin{equation}
|k\boldsymbol{v}_1 \quad \boldsymbol{v}_2| = k |\boldsymbol{v}_1 \quad \boldsymbol{v}_2|
\end{equation}
したがって、
\begin{eqnarray}
|AB| &=& |\boldsymbol{a}_1 \quad \boldsymbol{a}_1b_{12} + \boldsymbol{a}_2b_{22} | b_{11} + |\boldsymbol{a}_2 \quad \boldsymbol{a}_1b_{12} + \boldsymbol{a}_2b_{22}| \\
&=& |\boldsymbol{a}_1 \quad \boldsymbol{a}_1|b_{11}b_{12} + |\boldsymbol{a}_1 \quad \boldsymbol{a}_2|b_{11}b_{22} + |\boldsymbol{a}_2 \quad \boldsymbol{a}_1|b_{12}b_{21} + |\boldsymbol{a}_2 \quad \boldsymbol{a}_2|b_{21}b_{22}
\end{eqnarray}となります。
同一の列(または行)があれば、行列式は0になります。
\begin{eqnarray}
|\boldsymbol{a}_1 \quad \boldsymbol{a}_1| &=& 0 \\
|\boldsymbol{a}_2 \quad \boldsymbol{a}_2| &=& 0
\end{eqnarray}
行(または列)を入れ替えると、行列式は符号が反転します。
\begin{equation}
|\boldsymbol{a}_2 \quad \boldsymbol{a}_1| = -|\boldsymbol{a}_1 \quad \boldsymbol{a}_2|
\end{equation}
よって、
\begin{equation}
|AB| = |\boldsymbol{a}_1 \quad \boldsymbol{a}_2|(b_{11}b_{22} -b_{12}b_{21})
\end{equation}となります。
一方、
\begin{eqnarray}
|A| &=& |\boldsymbol{a}_1 \quad \boldsymbol{a}_2| \\
|B| &=& b_{11}b_{22} - b_{12}b_{21}
\end{eqnarray}なので、
\begin{equation}
|AB| = |A||B|
\end{equation}を得ます。
したがって、行列の積の行列式は、行列式の積となります。
