行列式 - 数式で独楽する

行列 $A$ に対する行列式を $\det A$ や $|A|$ と表します。
$n \times n$ 行列であるとき、

\begin{eqnarray}
\det A = |A| &=& |\boldsymbol{a}_1 \quad \cdots \quad \boldsymbol{a}_n | \\
&=& \left| \begin{array}{ccc}
a_{11} & \cdots & a_{1n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & \cdots & a_{nn}
\end{array} \right|
\end{eqnarray}とも表します。

行列式は、
\begin{equation}
\det A = |A| = \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}} \mathrm{sgn}(\sigma) a_{\sigma(1)1} a_{\sigma(2)2} \cdots a_{\sigma(n)n}
\end{equation}と定義します。
積の記号を用いると、
\begin{equation}
\det A = |A| = \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}} \mathrm{sgn}(\sigma) \prod_{i=1}^n a_{\sigma(i)i}
\end{equation}と書きます。
ここに、

$\sigma$ は $1, \cdots , n$ を並べ替える置換を表します。
\begin{equation}
\left( \begin{array}{cccc}
1 & 2 & \cdots & n \\
\sigma(1) &\sigma(2) & \cdots & \sigma(n)
\end{array} \right)
\end{equation}と表すことがあります。

$\mathrm{sgn}(\sigma)$ は置換の符号を意味します。1回入れ替えると $-1$ 、2回入れ替えると $+1$ です。つまり、
\begin{equation}
\mathrm{sgn}(\sigma) = \left \{ \begin{array}{cc}
+1 & (\mbox{even}) \\
-1 & (\mbox{odd})
\end{array} \right.
\end{equation} です。