の一の位を求めなさい。
一の位を求めるということは、10で割った余りを求めるということです。
持って回った言い方をすると、10を法とした剰余系で何と合同なのか、ということです。
\begin{equation}
23 \equiv 3 \mod 10
\end{equation}なので、
\begin{equation}
23^{23^{23}} \equiv 3^{23^{23}} \mod 10
\end{equation}です。
指数の部分は、
\begin{equation}
3^4 = 81 \equiv 1 \mod 10
\end{equation}なので、4を法として考えます。
\begin{equation}
23 \equiv -1 \equiv 3 \mod 4
\end{equation}なので、
\begin{eqnarray}
23^{23} &\equiv & (-1)^{23} \mod 4 \\
&=& -1 \\
&\equiv & 3 \mod 4
\end{eqnarray}です。
したがって、
\begin{eqnarray}
23^{23^{23}} &\equiv & 3^{23^{23}} \mod 10 \\
&\equiv & 3^3 \mod 10 \\
&=& 27 \\
&\equiv & 7 \mod 10
\end{eqnarray}です。
すなわち、10で割った余りは7、一の位は7、となります。
