を正の整数とする。
は方程式
\begin{equation}
x^2 - 2px - 1 = 0
\end{equation}の解で、であるとする。
(1) すべての正の整数
に対し、
が整数であり、さらに偶数であることを証明せよ。
(2) 極限を求めよ。
前置き
小問(1)ですが、を求めて
を計算するのは愚策のようです。
小問(1)の導き方に拘わらず、小問(2)は小問(1)のギミックを用いるのでしょう。
小問(1)の解答
は方程式
の解であるので、
\begin{eqnarray}
\alpha + \beta &=& 2p \tag{1.1} \\
\alpha \beta &=& -1 \tag{1.2}
\end{eqnarray}が成り立ちます。*1
全ての正の整数に対し、
が偶数であることを、数学的帰納法を用いて証明します。*2
(i) 
のとき
は正の整数なので、
\begin{equation}
\alpha + \beta = 2p \tag{1.1}
\end{equation}は偶数であることが分かります。
(ii) 
のとき
\begin{equation}
\alpha^n + \beta^n
\end{equation}が偶数であると仮定します。*3 *4
\begin{eqnarray}
(\alpha^k + \beta^k)(\alpha + \beta) &=& \alpha^{k+1} + \beta^{k+1} + \alpha^k \beta + \alpha \beta^n \\
&=& \alpha^{k+1} + \beta^{k+1} +\alpha \beta (\alpha^{k - 1} + \beta^{k -1}) \tag{1.3}
\end{eqnarray}なので、式(1.2)を用いると式(1.3)は
\begin{equation}
\alpha^{k+1} + \beta^{k+1} = (\alpha^k + \beta^k)(\alpha + \beta) + (\alpha^{k - 1} + \beta^{k - 1}) \tag{1.4}
\end{equation}となります。
右辺のは仮定により全て偶数であるので、
も偶数となります。
小問(2)の解答
式(1.2)より、
\begin{equation}
-\alpha = \frac{1}{\beta}
\end{equation}です。これより、
\begin{equation}
(-\alpha)^n = \frac{1}{\beta^n} \tag{2.1}
\end{equation}を得ます。*5
また、なので、
\begin{equation}
|\beta| < 1
\end{equation}です。したがって、
\begin{equation}
\lim_{n \to \infty} \beta^n = 0 \tag{2.2}
\end{equation}を得ます。*6
小問(1)によりは偶数であるので、
\begin{equation}
\alpha^n + \beta^n = 2m \quad (m \in \mathbb{N})
\end{equation}とします。これより、
\begin{eqnarray}
\sin (\alpha^n \pi) &=& \sin \left[ (2m - \beta^n) \pi \right] \\
&=& -\sin (\beta^n \pi) \tag{2.3}
\end{eqnarray}を得ます。*7
式(2.1), (2.2), (2.3)より、求める極限は、
\begin{eqnarray}
\lim_{n \to \infty} (-\alpha)^n \sin (\alpha^n \pi)
&=& - \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\beta^n} \sin (\beta^n \pi) \\
&=& - \lim_{n \to \infty} \pi \cdot \frac{\sin (\beta^n \pi)}{\beta^n \pi} \\
&=& -\pi
\end{eqnarray}となります。*8
補足
*2:式(1.1)により、が偶数であることが分かっています。直接計算せずに済ますには、数学的帰納法を用いるのが良いです。
数学的帰納法 - 数式で独楽する
*3:数学的帰納法の常道では、の場合に命題が真であると仮定して
の場合も真であることを証明します。今回はイレギュラーです。
が式(1.3)や(1.4)のようになるので、1から
まで命題が真であるとすれば都合が良くなります。
*4:取り敢えずを
を使って無理矢理表してみると式(1.3)になります。それゆえ、数学的帰納法を用いると上手くいきそうだという見通しが立ちます。
*5:求める極限に、なぜではなく
という勿体ぶった形が入っているのか? 式(1.2)と式(2.1)を見れば腑に落ちます。
*6:設問に、なぜなる断り書きがしてあるのか? これも式(2.2)を見れば腹落ちですが、これも伏線のひとつです。
*7:小問(1)で証明した$\alpha^n + \beta^n$は偶数という命題が、ここで登場しました。も
の形に書き換えることができます。
*8:式(2.1)も式(2.2)も式(2.3)も、 \begin{equation} \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} =1 \end{equation} (sin x)/xの極限 - 数式で独楽する を使える形に持ち込むための伏線だったのです。答案を観賞すると、本問はさまざまな要素が盛り込まれた良問であることを感じます。
