3次元のベクトルに対し、
\begin{equation}
\boldsymbol{a} \cdot (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c})
\end{equation}を、「スカラー3重積」といいます。
記号は内積、
は外積を表します。
スカラー3重積は、
エディントンのイプシロン
エディントンのイプシロンまたはレヴィ·チヴィタ記号 - 数式で独楽する
アインシュタインの縮約記法
を用いると簡潔に表記できます。
を
\begin{equation}
\boldsymbol{a} = \left( \begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\a_3 \end{array} \right) , \quad \boldsymbol{b} = \left( \begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\b_3 \end{array} \right), \quad
\boldsymbol{c} = \left( \begin{array}{c} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{array} \right)
\end{equation}と基底ベクトル
\begin{equation}
\boldsymbol{e}_1 = \left( \begin{array}{c} 1\\ 0 \\ 0 \end{array} \right), \ \boldsymbol{e}_2 = \left( \begin{array}{c} 0\\ 1 \\ 0 \end{array} \right), \
\boldsymbol{e}_3 = \left( \begin{array}{c} 0\\ 0 \\ 1 \end{array} \right)
\end{equation}を用いて、
\begin{eqnarray}
\boldsymbol{a} \cdot (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c})
&=& (a_1 \boldsymbol{e}_1 + a_2 \boldsymbol{e}_2 + a_3 \boldsymbol{e}_3) \cdot \left| \begin{array}{ccc}
\boldsymbol{e}_1 & \boldsymbol{e}_2 & \boldsymbol{e}_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 \\
c_1 & c_2 & c_3
\end{array}\right| \\
&=& \left| \begin{array}{ccc}
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 \\
c_1 & c_2 & c_3
\end{array}\right| \\
&=& \epsilon_{ijk} \, a_i \, b_j \, c_k
\end{eqnarray}
途中、ベクトルの外積を基底ベクトルを含んだ行列式で表し、
行列式をエディントンのイプシロンで表しています。
