ベクトルの発散 - 数式で独楽する

ベクトル $\boldsymbol{A}$
\begin{eqnarray}
\boldsymbol{A} &=& A_1 \, \boldsymbol{e}_1 + A_2 \, \boldsymbol{e}_2 + A_3 \, \boldsymbol{e}_3 \\
&& \boldsymbol{e}_1 = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) , \quad \boldsymbol{e}_2 = \left( \begin{array}{c} 0\\ 1 \\ 0 \end{array} \right) , \quad \boldsymbol{e}_3 = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)
\end{eqnarray}に対し、
\begin{equation}
\mathrm{div} \boldsymbol{A} = \frac{\partial A_1}{\partial x_1} + \frac{\partial A_2}{\partial x_2} + \frac{\partial A_3}{\partial x_3}
\end{equation}なるスカラー量を、ベクトル $\boldsymbol{A}$ の発散といいます。
微小な空間においてベクトルの流入と流出を表します。

3次元直交座標系では、
\begin{equation}
\mathrm{div} \boldsymbol{A} = \frac{\partial A_x}{\partial x} + \frac{\partial A_y}{\partial y} + \frac{\partial A_x}{\partial z}
\end{equation}と書かれます。

ナブラ記号 $\nabla$
\begin{equation}
\nabla = \boldsymbol{e}_1 \, \frac{\partial}{\partial x_1} + \boldsymbol{e}_2 \, \frac{\partial}{\partial x_2} + \boldsymbol{e}_3 \, \frac{\partial}{\partial x_3}
\end{equation}を用いると、
\begin{equation}
\nabla \cdot \boldsymbol{A} = \mathrm{div} \boldsymbol{A}
\end{equation}と書くことができます。