ベクトルに対し、
\begin{equation}
\nabla (\boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{B}) = (\boldsymbol{B} \cdot \nabla) \boldsymbol{A} + (\boldsymbol{A} \cdot \nabla) \boldsymbol{B} + \boldsymbol{B} \times (\nabla \times \boldsymbol{A}) + \boldsymbol{A} \times (\nabla \times \boldsymbol{B})
\end{equation}
が成り立ちます。
アインシュタインの縮約記法
アインシュタインの縮約記法 - 数式で独楽する
エディントンのイプシロンまたはレヴィ・チヴィタ記号
エディントンのイプシロンまたはレヴィ·チヴィタ記号 - 数式で独楽する
内線と外積の表記
ベクトルの内積 - 数式で独楽する
ベクトルの外積 - 数式で独楽する
を用い、右辺の各項の成分を求めていきます。
\begin{eqnarray}
(\boldsymbol{B} \cdot \nabla) A_i &=& B_j \, \frac{\partial}{\partial x_j} \, A_i \tag{1} \\
(\boldsymbol{A} \cdot \nabla) B_i &=& A_j \, \frac{\partial}{\partial x_j} \, B_i \tag{2} \\
\Bigl( \boldsymbol{B} \times (\nabla \times \boldsymbol{A}) \Bigr)_i &=& \epsilon_{ijk} \, B_j (\nabla \times \boldsymbol{A})_k \\
&=& \epsilon_{ijk} \, B_j \, \epsilon_{klm} \, \frac{\partial}{\partial x_l} \, A_m \\
&=& (\delta_{il} \, \delta_{jm} - \delta_{im} \, \delta_{jl}) B_j \, \frac{\partial}{\partial x_l} \, A_m \\
&=& B_j \, \frac{\partial}{\partial x_i} \, A_j - B_j \, \frac{\partial}{\partial x_j} \, A_i \tag{3}
\end{eqnarray}
途中、
\begin{equation}
\epsilon_{ijk} \, \epsilon_{klm} = \delta_{il} \, \delta_{jm} - \delta_{im} \, \delta_{jl}
\end{equation}を用いています。
エディントンのイプシロンあれこれ ε_{ijk}ε_{lmk} - 数式で独楽する
式中のデルタは、クロネッカーのデルタです。
クロネッカーのデルタ - 数式で独楽する
同様に、
\begin{equation}
\Bigl( \boldsymbol{A} \times (\nabla \times \boldsymbol{B}) \Bigr)_i = A_j \, \frac{\partial}{\partial x_i} \, B_j - A_j \, \frac{\partial}{\partial x_j} \, B_i \tag{4}
\end{equation}です。
式(1)~(4)を辺々相加えると、
\begin{eqnarray}
(\boldsymbol{B} \cdot \nabla) A_i + (\boldsymbol{A} \cdot \nabla) B_i + \Bigl( \boldsymbol{B} \times (\nabla \times \boldsymbol{A}) \Bigr)_i + \Bigl( \boldsymbol{A} \times (\nabla \times \boldsymbol{B}) \Bigr)_i &=& B_j \, \frac{\partial}{\partial x_i} \, A_j + A_j \, \frac{\partial}{\partial x_i} \, B_j \\
&=& \frac{\partial}{\partial x_i}(A_j \, B_j) \\
&=& \Bigl( \nabla (\boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{B}) \Bigr)_i
\end{eqnarray}となります。
よって、
\begin{equation}
\nabla (\boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{B}) = (\boldsymbol{B} \cdot \nabla) \boldsymbol{A} + (\boldsymbol{A} \cdot \nabla) \boldsymbol{B} + \boldsymbol{B} \times (\nabla \times \boldsymbol{A}) + \boldsymbol{A} \times (\nabla \times \boldsymbol{B})
\end{equation}を得ます。
微分と外積が入り乱れており、積の微分よりも複雑な形になっています。
積の微分 - 数式で独楽する
