スカラーの勾配

スカラーに対し、
\begin{eqnarray}
\mathrm{grad} \, \phi &=& \boldsymbol{e}_1 \, \frac{\partial \phi}{\partial x_1} + \boldsymbol{e}_2 \, \frac{\partial \phi}{\partial x_2} + \boldsymbol{e}_3 \, \frac{\partial \phi}{\partial x_3} \\
&& \boldsymbol{e}_1 = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) , \quad \boldsymbol{e}_2 = \left( \begin{array}{c} 0\\ 1 \\ 0 \end{array} \right) , \quad \boldsymbol{e}_3 = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)
\end{eqnarray}なるベクトル量をスカラーの勾配といいます。
文字通り、微小な空間におけるスカラーの傾きの向きと大きさを表します。

3次元直交座標系では、
\begin{equation}
\mathrm{grad} \, \phi = \boldsymbol{e}_1 \, \frac{\partial \phi}{\partial x} + \boldsymbol{e}_2 \, \frac{\partial \phi}{\partial y} + \boldsymbol{e}_3 \, \frac{\partial \phi}{\partial z}
\end{equation}と書かれます。

ナブラ記号
\begin{equation}
\nabla = \boldsymbol{e}_1 \, \frac{\partial}{\partial x_1} + \boldsymbol{e}_2 \, \frac{\partial}{\partial x_2} + \boldsymbol{e}_3 \, \frac{\partial}{\partial x_3}
\end{equation}を用いると、
\begin{equation}
\nabla \phi = \mathrm{grad} \, \phi
\end{equation}と書くことができます。

なお、アインシュタインの縮約記法
アインシュタインの縮約記法 - 数式で独楽する
を用いると、
\begin{equation}
\nabla \phi = \boldsymbol{e}_i \, \frac{\partial \phi}{\partial x_i}
\end{equation}です。