ベクトルの外積の微分 - 数式で独楽する

2ベクトルが媒介変数の関数となっている場合、
2ベクトルの外積の $\boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B}$ の媒介変数 $t$ による微分は、次のようになります。

\begin{equation}
\frac{d}{dt}(\boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B}) = \frac{d \boldsymbol{A}}{dt} \times \boldsymbol{B} + \boldsymbol{A} \times \frac{d \boldsymbol{B}}{dt}
\end{equation}

ベクトル $\boldsymbol{A, B}$ を
\begin{equation}
\boldsymbol{A} = \left( \begin{array}{c} A_1 \\ A_2 \\A_3 \end{array} \right) , \quad \boldsymbol{B} = \left( \begin{array}{c} B_1 \\ B_2 \\B_3 \end{array} \right)
\end{equation}とすると、外積 $\boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B}$ の $i$ 成分は、
\begin{eqnarray}
\frac{d}{dt} (\boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B})_i &=& \frac{d}{dt} (\epsilon_{ijk} \, A_j \, B_k) \\
&=& \epsilon_{ijk} \left( \frac{dA_j}{dt} \, B_k + A_j \, \frac{dB_k}{dt} \right) \\
&=& \epsilon_{ijk} \, \frac{dA_j}{dt} \, B_k + \epsilon_{ijk} \, A_j \, \frac{dB_k}{dt} \\
&=& \left( \frac{d \boldsymbol{A}}{dt} \times \boldsymbol{B} \right)_i + \left( \boldsymbol{A} \times \frac{d \boldsymbol{B}}{dt} \right)_i
\end{eqnarray}となります。
よって、
\begin{equation}
\frac{d}{dt}(\boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B}) = \frac{d \boldsymbol{A}}{dt} \times \boldsymbol{B} + \boldsymbol{A} \times \frac{d \boldsymbol{B}}{dt}
\end{equation}となります。