ベクトルの回転 - 数式で独楽する

ベクトル $\boldsymbol{A}$
\begin{eqnarray}
\boldsymbol{A} &=& A_1 \, \boldsymbol{e}_1 + A_2 \, \boldsymbol{e}_2 + A_3 \, \boldsymbol{e}_3 \\
&& \boldsymbol{e}_1 = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) , \quad \boldsymbol{e}_2 = \left( \begin{array}{c} 0\\ 1 \\ 0 \end{array} \right) , \quad \boldsymbol{e}_3 = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)
\end{eqnarray}に対し、

\begin{equation}
\mathrm{rot} \boldsymbol{A} = \boldsymbol{e}_1 \left( \frac{\partial A_3}{\partial x_2} - \frac{\partial A_2}{\partial x_3} \right) + \boldsymbol{e}_2 \left( \frac{\partial A_1}{\partial x_3} - \frac{\partial A_3}{\partial x_1} \right) + \boldsymbol{e}_3 \left( \frac{\partial A_2}{\partial x_1} - \frac{\partial A_1}{\partial x_2} \right)
\end{equation}なるベクトル量を、ベクトル $\boldsymbol{A}$ の回転といいます。
微小な空間においてベクトルの回転を表します。

3次元直交座標系では、
\begin{equation}
\mathrm{rot} \boldsymbol{A} = \boldsymbol{e}_1 \left( \frac{\partial A_z}{\partial y} - \frac{\partial A_y}{\partial z} \right) + \boldsymbol{e}_2 \left( \frac{\partial A_x}{\partial z} - \frac{\partial A_z}{\partial x} \right) + \boldsymbol{e}_3 \left( \frac{\partial A_y}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y} \right)
\end{equation}と書かれます。

ナブラ記号 $\nabla$
\begin{equation}
\nabla = \boldsymbol{e}_1 \, \frac{\partial}{\partial x_1} + \boldsymbol{e}_2 \, \frac{\partial}{\partial x_2} + \boldsymbol{e}_3 \, \frac{\partial}{\partial x_3}
\end{equation}を用いると、
\begin{equation}
\nabla \times \boldsymbol{A} = \mathrm{rot} \boldsymbol{A}
\end{equation}と書くことができます。

なお、アインシュタインの縮約記法
アインシュタインの縮約記法 - 数式で独楽する
とエディントンのイプシロンまたはレヴィ·チヴィタ記号
エディントンのイプシロンまたはレヴィ·チヴィタ記号 - 数式で独楽する
を用いると、 $\nabla \times \boldsymbol{A}$ の $i$ 成分は、
\begin{equation}
\left( \nabla \times \boldsymbol{A} \right)_i = \epsilon_{ijk} \, \frac{\partial}{\partial x_j} \, A_k
\end{equation}です。