エディントンのイプシロンまたはレヴィ·チヴィタ記号

エディントンEddingtonのイプシロン　または
レヴィ·チヴィタLevi-Civita記号は、
\begin{equation}
\epsilon_{ijk} = \left \{ \begin{array}{rl}
1 & (i,j,k) = (1,2,3), (2,3,1), (3,1,2) \\
-1 & (i,j,k) = (3,2,1), (2,1,3), (1,3,2) \\
0 & \mbox{otherwise}
\end{array} \right.
\end{equation}を満たすテンソルです。要素が3つあり、3階のテンソル。
成分は3×3×3=27個です。

エディントンのイプシロンまたはレヴィ·チヴィタ記号は、
クロネッカーのデルタ
クロネッカーのデルタ - 数式で独楽する
や、
アインシュタインの縮約記法
アインシュタインの縮約記法 - 数式で独楽する
と組合せると、いろいろと威力が炸裂します。

エディントンのイプシロンまたはレヴィ·チヴィタ記号の主要な性質は以下の通りです。
エディントンのイプシロンあれこれ ε_{ijk}ε_{ijk} - 数式で独楽する
\begin{equation}
\epsilon_{ijk} \, \epsilon_{ijk} = 6
\end{equation}

エディントンのイプシロンあれこれ ε_{ijk}ε_{jkl} - 数式で独楽する
\begin{equation}
\epsilon_{ijk} \, \epsilon_{jkl} = 2\delta_{il}
\end{equation}

エディントンのイプシロンあれこれ ε_{ijk}の別表現 - 数式で独楽する
\begin{equation}
\epsilon_{ijk} = \left| \begin{array}{ccc}
\delta_{1i} & \delta_{2i} & \delta_{3i} \\
\delta_{1j} & \delta_{2j} & \delta_{3j} \\
\delta_{1k} & \delta_{2k} & \delta_{3k}
\end{array} \right|
\end{equation}

エディントンのイプシロンあれこれ ε_{ijk}ε_{lmn} - 数式で独楽する
\begin{equation}
\epsilon_{ijk} \, \epsilon_{lmn} = \left| \begin{array}{lll}
\delta_{il} & \delta_{im} & \delta_{in} \\
\delta_{jl} & \delta_{jm} & \delta_{jn} \\
\delta_{kl} & \delta_{km} & \delta_{kn}
\end{array} \right|
\end{equation}

エディントンのイプシロンあれこれ ε_{ijk}ε_{lmk} - 数式で独楽する
\begin{equation}
\epsilon_{ijk} \, \epsilon_{lmk} = \delta_{il} \delta_{jm} - \delta_{im} \delta_{jl}
\end{equation}