勾配の持つ意味 - 数式で独楽する

本稿では、スカラー $\phi$ の勾配 $\nabla \phi$ の持つ意味について見ていきます。

方向を指定したときの傾き

スカラー $\phi (x,y,z)$ を曲線 $C$ 上で定義します。
曲線上の定点Pから点Q $(x,y,z)$ までの弧の長さを $s$ とします。
点Qの位置ベクトルは弧長 $s$ の関数として
\begin{equation}
\boldsymbol{r} = \boldsymbol{r}(s) = x(s)\boldsymbol{i} +y(s)\boldsymbol{j} +z(s)\boldsymbol{k}
\end{equation}と書くことができます。
なお、 $\boldsymbol{i}, \boldsymbol{j}, \boldsymbol{k}$ はそれぞれ $x,y,z$ 軸方向の単位ベクトルです。

このとき
\begin{eqnarray}
\frac{d\phi}{ds} &=& \frac{\partial \phi}{\partial x} \frac{dx}{ds} +\frac{\partial \phi}{\partial y} \frac{dy}{ds} +\frac{\partial \phi}{\partial z} \frac{dz}{ds} \\
&=& \left( \frac{\partial \phi}{\partial x} \, \boldsymbol{i} +\frac{\partial \phi}{\partial y} \, \boldsymbol{j} +\frac{\partial \phi}{\partial z} \, \boldsymbol{k} \right) \cdot \left( \frac{dx}{ds} \, \boldsymbol{i} +\frac{dy}{ds} \, \boldsymbol{j} +\frac{dz}{ds} \, \boldsymbol{k} \right) \\
&=& \nabla \phi \cdot \frac{d \boldsymbol{r}}{ds}
\end{eqnarray}は、接線方向の関数の傾きを表します。方向微分係数といいます。 $\displaystyle \frac{d \boldsymbol{r}}{ds}$ は曲線 $C$ の接線方向の単位ベクトルで、単位接線ベクトルといいま。

曲面の法線ベクトル

$a$ が定数のとき、
\begin{equation}
\phi (x,y,z) = a
\end{equation}は曲面を表します。この曲面上に曲線 $C$ をとり、 $C$ 上の点を
\begin{equation}
\boldsymbol{r} = x(t) \, \boldsymbol{i} +y(t) \, \boldsymbol{j} +z(t) \, \boldsymbol{k}
\end{equation}で表します。
曲線 $C$ は曲面上にあるので、
\begin{equation}
\phi \left( x(t), y(t), z(t) \right) = a
\end{equation}が成り立ちます。

したがって、
\begin{equation}
\frac{d \phi}{dt} = 0 = \frac{\partial \phi}{\partial x} \frac{dx}{dt} +\frac{\partial \phi}{\partial y} \frac{dy}{dt} +\frac{\partial \phi}{\partial z} \frac{dz}{dt}
\end{equation}つまり
\begin{equation}
\nabla \phi \cdot \frac{d \boldsymbol{r}}{dt} = 0
\end{equation}が成り立ちます。

ここで $\displaystyle \frac{d \boldsymbol{r}}{dt}$ は、曲面 $\phi(x,y,z) = a$ 上にある曲線 $C$ の単位接線ベクトルです。 $\nabla \phi$ はこれと直交することを示しています。曲線 $C$ を曲面 $\phi(x,y,z) = a$ 上で変えると、そのいずれについても $\nabla \phi$ は $C$ の接線と直交します。

つまり、 $\nabla \phi$ と $\phi =$ 一定の面は垂直であることを示しています。