平面上の点P, Q, Rが同一直線上にないとき、それらを3頂点とする三角形の面積を△PQRで表す。また、P, Q, Rが同一直線上にあるときは△PQR=0とする。
A, B. Cを平面上の3点とし、△ABC=1とする。この平面上の点Xが
\begin{equation}
2 \leqq \triangle \mathrm{ABX} + \triangle \mathrm{BCX} + \triangle \mathrm{CAX} \leqq 3
\end{equation}を満たしながら動くとき、Xの動きうる範囲の面積を求めよ。
前置き
問題文は簡単に書いてあります。でも解こうとすると難しいのでしょう。
三角形の面積の記述をどうするか、というのがカギでしょう。
2つのベクトルが作る三角形の面積
が
\begin{equation}
S = \frac{1}{2} \, \left| \, \vec{x} \times \vec{y} \, \right|
\end{equation}と表せることを用いていきます。
ちなみに、点Xが△ABCの内側にあれば、件の面積は1にしかならないので、必然的に点Xは△ABCの外側を動くことになります。
答案
\begin{equation}
\vec{a} = \overrightarrow{\mathrm{CA}}, \quad \vec{b} = \overrightarrow{\mathrm{CB}}
\end{equation}とします。
\begin{equation}
\triangle \mathrm{ABC} = \frac{1}{2} \, \left| \, \vec{a} \times \vec{b} \, \right| = 1
\end{equation}です。
平面上の点Xについて、実数を用いて
\begin{equation}
\overrightarrow{\mathrm{CX}} = p \, \vec{a} + q \, \vec{b}
\end{equation}と表すこととします。
このとき、
\begin{eqnarray}
\triangle \mathrm{CAX} &=& \frac{1}{2} \, \left| \, \overrightarrow{\mathrm{CA}} \times \overrightarrow{\mathrm{CX}} \, \right| \\
&=& \frac{1}{2} \, \left| \, \vec{a} \times (p \, \vec{a} + q \, \vec{b}) \right| = \frac{1}{2} \, |q| \left| \, \vec{a} \times \vec{b} \, \right| \\
&=& |q| \\
\\
\triangle \mathrm{BCX} &=& \frac{1}{2} \, \left| \, \overrightarrow{\mathrm{CB}} \times \overrightarrow{\mathrm{CX}} \, \right| \\
&=& \frac{1}{2} \, \left| \, \vec{b} \times (p \, \vec{a} + q \, \vec{b}) \right| = \frac{1}{2} \, |p| \left| \, \vec{a} \times \vec{b} \, \right| \\
&=& |p| \\
\\
\triangle \mathrm{ABX} &=& \frac{1}{2} \, \left| \, \overrightarrow{\mathrm{XA}} \times\overrightarrow{\mathrm{XB}} \, \right| \\
&=& \frac{1}{2} \, \left| \, \left( \overrightarrow{\mathrm{XC}} + \overrightarrow{\mathrm{CA}} \right) \times \left( \overrightarrow{\mathrm{XC}} + \overrightarrow{\mathrm{CB}} \right) \, \right| \\
&=& \frac{1}{2} \, \left| \, \left \{ (1 -p) \, \vec{a} -q \, \vec{b} \right \} \times \left \{ -p \, \vec{a} +(1 -q) \, \vec{b} \right \} \, \right| \\
&=& \frac{1}{2} \, \Bigl| \, -pq + (1 -p)(1 -q) \,
\Bigr| \, \left| \, \vec{a} \times \vec{b} \, \right| \\
&=& | 1-p -q |
\end{eqnarray}となります。
\begin{equation}
S = \triangle \mathrm{ABX} + \triangle \mathrm{BCX} + \triangle \mathrm{CAX}
\end{equation}とすると、
\begin{equation}
S = |1 -p -q| + |p| + |q|
\end{equation}となります。
