京大 2019年前期理系第2問 - 数式で独楽する

$f(x) = x^3 + 2x^2 +2$ とする。 $|f(n)|$ と $|f(n+1)|$ がともに素数となる整数 $n$ をすべて求めよ。

連続する2整数 $n, n+1$ は、いずれか一方は偶数で、他方は奇数です。
まず、 $n = 2k \ (k \in \mathbb{Z})$ の場合、 $|f(2k)|$ が素数となる条件を求めます。
\begin{eqnarray}
f(2k) &=& 8k^3 + 8k^2 +2 \\
&=& 2(4k^3 + 4k^2 +1)
\end{eqnarray}なので、$|f(2k)|$が素数となる条件は、
\begin{equation}
4k^3 + 4k^2 +1 = \pm 1
\end{equation}の場合のみです。*1

$4k^3 + 4k^2 + 1 = 1$ の場合、
\begin{equation}
k^2(k +1) = 0
\end{equation}となります。これより、
\begin{equation}
k = 0, -1
\end{equation}すなわち
\begin{equation}
n = 0, -2
\end{equation}を得ます。

逆に、
\begin{eqnarray}
f(0) &=& 2 \\
f(-2) &=& 2
\end{eqnarray}はいずれも素数となります。

$4k^3 + 4k^2 +1 = -1$ の場合、

$k \leqq -1$ で左辺≧1
$k=-1$ で左辺=1
$k=-2$ で左辺=-15

であり、条件を満たす整数 $k$ は存在しません。

これまでの結果、 $|f(-3)|, \, |f(-1)|, \, |f(1)|$ が素数かどうかを判定すれば、条件を満たす $n$ を求められることになります。
\begin{eqnarray}
f(-3) &=& -27 + 2\cdot 9 +2 &=& -7 \\
f(-1) &=& -1 +2 +2 &=& 3 \\
f(1) &=& 1 +2 +2 &=& 5
\end{eqnarray}なので、 $|f(-3)|, \, |f(-1)|, \, |f(1)|$ はいずれも素数となります。