$a,b$を実数とする。座標平面上の放物線
\begin{equation}
C: \ y = x^2 -ax +b
\end{equation}は放物線と2つの共有点を持ち、一方の共有点の$x$座標は
を満たし、他方の共有点の$x$座標は
を満たす。
(1) 点
のとりうる範囲を座標平面上に図示せよ。
(2) 放物線$C$の通りうる範囲を座標平面上に図示せよ。
小問(1)の解答例
両放物線の共有点の$x$座標は
\begin{eqnarray}
x^2 +ax +b &=& -x^2 \\
2x^2 +ax +b &=& 0
\end{eqnarray}を満たします。
\begin{equation}
f(x) = 2x^2 +ax +b
\end{equation}とすると、が
で1つずつ解を持つための条件は、
\begin{eqnarray}
f(-1) &>& 0 \\
f(0) &<& 0 \\
f(1) &>& 0
\end{eqnarray}が同時に成立することとなります。
つまり、
\begin{eqnarray}
2 -a +b &>& 0 \\
b &<& 0 \\
2 +a +b &>& 0
\end{eqnarray}となります。
図示すると次の図の橙色の着色部です。境界線は含みません。
小問(2)の解答例
関数は、$b$について単調増加です。
(i) 0≦a≦2の場合
\begin{equation}
a -2 < b < 0
\end{equation}なので
\begin{equation}
x^2 +ax +a -2 < y < x^2 +ax
\end{equation}です。
左辺と右辺を$a$で微分すると
\begin{eqnarray}
(x^2 +ax +a -2)' &=& x +1 \\
(x^2 +ax)' &=& x
\end{eqnarray}なので、を境に$a$についての増減が異なります。
a. x≦-1の場合
左辺、右辺とも単調減少なので、
\begin{equation}
x^2 +2x < y < x^2
\end{equation}となります。
b. -1≦x≦0の場合
左辺は単調増加、右辺は単調減少なので、
\begin{equation}
x^2 -2 < y < x^2
\end{equation}となります。
c. 0≦xの場合
左辺、右辺とも単調増加なので、
\begin{equation}
x^2 -2 < y < x^2 +2x
\end{equation}となります。
(ii) -2≦a≦0の場合
\begin{equation}
-a -2 < b < 0
\end{equation}なので
\begin{equation}
x^2 +ax -a -2 < y < x^2 +ax
\end{equation}です。
左辺と右辺を$a$で微分すると
\begin{eqnarray}
(x^2 +ax -a -2)' &=& x -1 \\
(x^2 +ax)' &=& x
\end{eqnarray}なので、を境に$a$についての増減が異なります。
a. x≦0の場合
左辺、右辺とも単調減少なので、
\begin{equation}
x^2 -2 < y < x^2 -2x
\end{equation}となります。
b. 0≦x≦1の場合
左辺は単調減少、右辺は単調増加なので、
\begin{equation}
x^2 -2 < y < x^2
\end{equation}となります。
c. 0≦xの場合
左辺、右辺とも単調増加なので、
\begin{equation}
x^2 -2x < y < x^2
\end{equation}となります。
(iii) まとめ
不等式に登場した関数の値は次のようになります。
\begin{array}{|l|rrrrrrrrrrr|}
\hline
x & \cdots & -2 & \cdots & -1 & \cdots & 0 & \cdots & 1 &\cdots & 2 & \cdots \\ \hline
x^2 +2x & \searrow & 0 & \searrow & -1 & \nearrow & 0 & \nearrow & 3 & \nearrow & 8 & \nearrow \\
x^2 & \searrow & 4 & \searrow & 1 & \searrow & 0 & \nearrow & 1 & \nearrow & 4 & \nearrow \\
x^2 -2 & \searrow & 2 & \searrow & -1 & \searrow & -2 & \nearrow & -1 & \nearrow & 2 & \nearrow \\
x^2 -2x & \searrow & 8 & \searrow & 3 & \searrow & 0 & \searrow & -1 & \nearrow & 0 & \nearrow \\ \hline
\end{array}
求める範囲は上記(i)または(ii)です。まとめると、次の範囲となります。
\begin{array}{lc}
x \leqq -1, & x^2 +2x < y < x^2 -2x \\
-1 \leqq x \leqq 0, & x^2 -2 < y < x^2 -2x \\
0 \leqq x \leqq 1, & x^2 -2 < y < x^2 +2x \\
1 \leqq x , & x^2 -2x < y < x^2 +2x \\
\end{array}
図示すると、次の図の着色部、3つの放物線の最大と最小の間の部分*1となります。ただし境界線は含みません。
解説
「共有点が2つ」ということで2次方程式の解の判別式に飛び付きそうになります。
勿論、この方法でも解くことができます。
しかしが連続で
の符号が逆であれば、
は
に解を持つ、ということを用いる方が簡単です。本問では2次関数なので区間内に解はただ1つ、ということになります。
小問(2)では、小問(1)で求めたを変化させて、$y$のとり得る範囲を求めています。
*1:つまり、 \begin{equation} \mathrm{min}(x^2 +2x, \ x^2 -2, \ x^2 -2x) < y < \mathrm{max}(x^2 +2x, \ x^2 -2x) \end{equation}です。
