3次元球座標系の単位ベクトル同士の関係

本稿では、
\begin{eqnarray}
x &=& r \sin \theta \cos \phi \\
y &=& r \sin \theta \sin \phi \\
z &=& r \cos \theta \tag{1}
\end{eqnarray}で表される3次元の球座標系$(r, \theta, \phi)$の単位ベクトルについて述べます。
極座標 - 数式で独楽する

3次元球座標系の単位ベクトル - 数式で独楽する
において、直交座標系の単位ベクトルとの関係を次のように導きました。
\begin{eqnarray}
\boldsymbol{e}_r &=& \sin \theta \cos \phi \, \boldsymbol{i} + \sin \theta \sin \phi \, \boldsymbol{j} + \cos \theta \, \boldsymbol{k} \\
\boldsymbol{e}_\theta &=& \cos \theta \cos \phi \, \boldsymbol{i} + \cos \theta \sin \phi \, \boldsymbol{j} - \sin \theta \, \boldsymbol{k} \\
\boldsymbol{e}_\phi &=& - \sin \phi \, \boldsymbol{i} + \cos \phi \, \boldsymbol{j} \tag{2}
\end{eqnarray}

単位ベクトルの内積

これより単位ベクトル同士の内積を求めると、
\begin{eqnarray}
\boldsymbol{e}_r \cdot \boldsymbol{e}_\theta &=& \sin \theta \cos \theta \cos^2 \phi + \sin \theta \cos \theta \sin^2 \phi - \sin \theta \cos \theta &=& 0 \\
\boldsymbol{e}_\theta \cdot \boldsymbol{e}_\phi &=& - \cos \theta \sin \phi \cos \phi + \cos \theta \sin \phi \cos \phi &=& 0 \\
\boldsymbol{e}_\phi \cdot \boldsymbol{e}_r &=& -\sin \theta \sin \phi \cos \phi + \sin \theta \sin \phi \cos \phi &=& 0
\end{eqnarray}となります。
球座標系の単位ベクトルは、互いに直交することが分かります。

単位ベクトルの外積

外積を求めると、
\begin{eqnarray}
\boldsymbol{e}_r \times \boldsymbol{e}_\theta &=& -\sin \phi \, \boldsymbol{i} + \cos \phi \, \boldsymbol{j} &=& \boldsymbol{e}_\phi \\
\boldsymbol{e}_\theta \times \boldsymbol{e}_\phi &=& \sin \theta \cos \phi \, \boldsymbol{i} + \sin \theta \sin \phi \, \boldsymbol{j} + \cos \theta \, \boldsymbol{k} &=& \boldsymbol{e}_r \\
\boldsymbol{e}_\phi \times \boldsymbol{e}_r &=& \cos \theta \cos \phi \, \boldsymbol{i} + \cos \theta \sin \phi \, \boldsymbol{j} - \sin \theta \, \boldsymbol{k} &=& \boldsymbol{e}_\theta
\end{eqnarray}となります。
これより、球座標系の単位ベクトルは、この順で右手系を為すことが分かります。*1

*1:右手の親指、人差し指、中指を互いに垂直になるように立て、3つのベクトルが親指、人差し指、中指)の順で並べることができる関係にあるとき、このベクトルを「右手系」を為すといいます。