3次元球座標系のベクトル

本稿では、
\begin{eqnarray}
x &=& r \sin \theta \cos \phi \\
y &=& r \sin \theta \sin \phi \\
z &=& r \cos \theta \tag{1}
\end{eqnarray}で表される3次元の球座標系$(r, \theta, \phi)$のベクトルについて述べます。
スカラーの勾配 - 数式で独楽する

ベクトルAを
\begin{eqnarray}
\boldsymbol{A} &=& A_x \, \boldsymbol{i} + A_y \, \boldsymbol{j} + A_z \, \boldsymbol{k} \\
&=& A_r \, \boldsymbol{e}_r + A_\theta \, \boldsymbol{e}_\theta + A_\phi \, \boldsymbol{e}_\phi \tag{2}
\end{eqnarray}とします。

直交座標系を球座標系に変換

\begin{eqnarray}
\boldsymbol{e}_r &=& \sin \theta \cos \phi \, \boldsymbol{i} + \sin \theta \sin \phi \, \boldsymbol{j} + \cos \theta \, \boldsymbol{k} \\
\boldsymbol{e}_\theta &=& \cos \theta \cos \phi \, \boldsymbol{i} + \cos \theta \sin \phi \, \boldsymbol{j} - \sin \theta \, \boldsymbol{k} \\
\boldsymbol{e}_\phi &=& - \sin \phi \, \boldsymbol{i} + \cos \phi \, \boldsymbol{j} \tag{3}
\end{eqnarray}を用いて単位ベクトルを球座標系から直交座標系に変換すると、直交座標系のベクトル成分を球座標系のベクトル成分で表すことができます。
\begin{eqnarray}
A_x &=& A_r \sin \theta \cos \phi + A_\theta \cos \theta \cos \phi - A_\phi \sin \phi \\
A_y &=& A_r \sin \theta \sin \phi + A_\theta \cos \theta \sin \phi + A_\phi \cos \phi \\
A_z &=& A_r \cos \theta - A_\theta \sin \theta \tag{4}
\end{eqnarray}

球座標系を直交座標系に変換

\begin{eqnarray}
\boldsymbol{i} &=& \sin \theta \cos \phi \ \boldsymbol{e}_r + \cos \theta \cos \phi \ \boldsymbol{e}_\theta - \sin \phi \ \boldsymbol{e}_\phi \\
\boldsymbol{j} &=& \sin \theta \sin \phi \ \boldsymbol{e}_r + \cos \theta \sin \phi \ \boldsymbol{e}_\theta + \cos \phi \ \boldsymbol{e}_\phi \\
\boldsymbol{k} &=& \cos \theta \ \boldsymbol{e}_r - \sin \theta \ \boldsymbol{e}_\theta \tag{5}
\end{eqnarray}を用いて単位ベクトルを直交座標系から球座標系に変換すると、球座標系のベクトル成分を直交座標系のベクトル成分で表すことができます。
\begin{eqnarray}
A_r &=& A_x \sin \theta \cos \phi + A_y \sin \theta \sin \phi + A_z \cos \theta \\
A_\theta &=& A_x \cos \theta \cos \phi + A_y \cos \theta \sin \phi - A_z \sin \theta \\
A_\phi &=& - A_x \sin \phi + A_y \cos \phi \tag{6}
\end{eqnarray}

単位ベクトルの変換の逆変換を書き下し、単位ベクトルをベクトルの成分に置き換えた形になっています。

行列による表記

行列Rを
\begin{equation}
R = \left( \begin{array}{ccc} \sin \theta \cos \phi & \sin \theta \sin \phi & \cos \theta \\
\cos \theta \cos \phi & \cos \theta \sin \phi & -\sin \theta \\
-\sin \phi & \cos \phi & 0 \end{array} \right) \tag{7}
\end{equation}とすると、式(4), (6)は、
\begin{eqnarray}
\left( \begin{array}{c} A_r \\ A_\theta \\ A_\phi \end{array} \right)
&=& R \left( \begin{array}{c} A_x \\ A_y \\ A_z \end{array} \right) \\
\left( \begin{array}{c} A_x \\ A_y \\ A_z \end{array} \right)
&=& R^{-1} \left( \begin{array}{c} A_r \\ A_\theta \\ A_\phi \end{array} \right)
\end{eqnarray}と書けます。