方べきの定理

「方べきの定理」は、交わる円と直線に関する定理です。
「方」は四角、「冪(べき)」は掛け算ということです。

方べきの定理

1. 円周上にない点Pを通る2直線がそれぞれ2点A, BおよびC, Dで交わるならば、\begin{equation} \mathrm{P A} \cdot \mathrm{PB} = \mathrm{PC} \cdot \mathrm{PD} \end{equation} が成り立つ。
2. 円周上にない点Pを通る2直線が、一方が点Aで接し、他方が2点B, Cで交わるならば、\begin{equation} \mathrm{P A}^2 = \mathrm{PB} \cdot \mathrm{PC} \end{equation}が成り立つ。

1項については、点Pが円の内側の場合と外側の場合があります。

2項については、点Pは円の外側に位置します。

2直線がそれぞれ2点で円と交わる場合

点Pが円の内側の場合

△PACと△PDBに着目します。
弧ADに対する円周角は等しいので∠C = ∠B、
弧BCに対する円周角は等しいので∠A = ∠Dです。
2角がそれぞれ等しいので△PAC∽△PDBです。*1

点Pが円の外側の場合

△PACと△PDBに着目します。
四角形ABDCは円に内接しています。
内角とその対角の外角は等しいので∠CAP = ∠BDP、∠ACP = ∠DBPです。
2角がそれぞれ等しいので△PAC∽△PDBです。*2

点Pが円の内外どちらでも△PAC∽△PDBです。
対応する辺の比は等しいので、
\begin{equation}
\frac{\mathrm{P A}}{\mathrm{PD}} = \frac{\mathrm{PC}}{\mathrm{PB}}
\end{equation}が成り立ちます。
ゆえに、
\begin{equation}
\mathrm{P A} \cdot \mathrm{PB} = \mathrm{PC} \cdot \mathrm{PD}
\end{equation}が成り立ちます。

2直線のうち、一方が円に接する場合

今度は△PABと△PCAに着目します。
接弦定理により、∠PAB = ∠PCAが成り立ちます。
接弦定理 - 数式で独楽する
∠Pは両者に共通です。
2角がそれぞれ等しいので△PAB∽△PCAです。
対応する辺の比は等しいので、
\begin{equation}
\frac{\mathrm{P A}}{\mathrm{PC}} = \frac{\mathrm{PB}}{\mathrm{P A}}
\end{equation}が成り立ちます。
ゆえに、
\begin{equation}
\mathrm{P A}^2 = \mathrm{PB} \cdot \mathrm{PC}
\end{equation}が成り立ちます。

*1:∠Pは対頂角で等しいとしても可です。

*2:∠Pは共通としても可です。