「方べきの定理」は、交わる円と直線に関する定理です。
「方」は四角、「冪(べき)」は掛け算ということです。
方べきの定理
- 円周上にない点Pを通る2直線がそれぞれ2点A, BおよびC, Dで交わるならば、\begin{equation} \mathrm{P A} \cdot \mathrm{PB} = \mathrm{PC} \cdot \mathrm{PD} \end{equation} が成り立つ。
- 円周上にない点Pを通る2直線が、一方が点Aで接し、他方が2点B, Cで交わるならば、\begin{equation} \mathrm{P A}^2 = \mathrm{PB} \cdot \mathrm{PC} \end{equation}が成り立つ。
方べきの定理 - 数式で独楽する
で方べきの定理について述べましたが、本稿では代数的に見ていきます。
上記の命題は、見方を変えると次のようになります。
円周上にない点Pを通る直線と円との交点をA, Bとすると、
PA·PB = 一定
が成り立つ。
\begin{equation}
x^2 + y^2 = r^2 \tag{1}
\end{equation}で表される円Oに向けて、O上にない点Pより直線
を引きます。
直線を表す式は、
\begin{equation}
(y - y_0) \cos \theta = (x - x_0) \sin \theta
\end{equation}です。
直線l上の点Qは、媒介変数を用いて
\begin{equation}
\left \{
\begin{array}{c}
x = x_0 + t \cos \theta \\
y = y_0 + t \sin \theta
\end{array}
\right. \tag{2}
\end{equation}と表すことができます。媒介変数$t$の絶対値は、点Pからの距離を表します。
ベクトルで記述すると、
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{OQ}} &=& \vec{p} + t \, \vec{u} \\
\overrightarrow{\mathrm{PQ}} &=& t \, \vec{u} \\
\vec{p} &=& \overrightarrow{\mathrm{OP}} = (x_0, \ y_0) \\
\vec{u} &=& (\cos \theta, \ \sin \theta)
\end{eqnarray}です。ここでベクトルは直線lに平行な単位ベクトルです。
交点とは、直線上の点が円O上にあるということです。
式(2)は式(1)を満足します。つまり、
\begin{equation}
(x_0 + t \cos \theta)^2 + (y_0 + \sin \theta)^2 = r^2
\end{equation}が成り立っています。
式を媒介変数に着目して整理すると、
\begin{equation}
t^2 + 2(x_0 \cos \theta + y_0 \sin \theta) \, t + ({x_0}^2 + {y_0}^2 - r^2) = 0 \tag{3}
\end{equation}を得ます。
直線lと円Oの交点A, Bを
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{P A}} &=& t_1 \, \vec{u} \\
\overrightarrow{\mathrm{PB}} &=& t_2 \, \vec{u}
\end{eqnarray}とすると、は式(3)の解になります。
したがって、2次方程式の解と係数の関係により、
\begin{equation}
t_1 t_2 = {x_0}^2 + {y_0}^2 - r^2 = \mbox{一定}
\end{equation}となります。
解と係数の関係 - 数式で独楽する
つまり、
\begin{equation}
\mathrm{P A} \cdot \mathrm{PB} = \mbox{一定}
\end{equation}を得ます。
