「解と係数の関係」
2次方程式の解を
とすると、
\begin{eqnarray}
\alpha + \beta &=& - \frac{b}{a} \\
\alpha \beta &=& \frac{c}{a}
\end{eqnarray}が成り立つ。3次方程式
の解を
とすると、
\begin{eqnarray}
\alpha + \beta + \gamma &=& - \frac{b}{a} \\
\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha &=& \frac{c}{a} \\
\alpha \beta \gamma &=& - \frac{d}{a}
\end{eqnarray}が成り立つ。
解と係数の関係は、知っておくと非常に便利です。
方程式の解を求めずに、解の和や積などを知ることができるのです。
導出は容易です。
2次方程式の解と係数の関係
2次方程式
\begin{equation}
ax^2 + bx + c = 0 \tag{1}
\end{equation}は次のようにも書けます。
\begin{equation}
a(x - \alpha)(x - \beta) = 0 \tag{2}
\end{equation}
式(1), (2)より、次の恒等式が成り立ちます。なお、両辺をで割り、式(2)は展開しています。
\begin{equation}
x^2 + \frac{b}{a} \, x + \frac{c}{a} = x^2 -(\alpha + \beta) \, x + \alpha \beta
\end{equation}
両辺の係数を比較して、
\begin{eqnarray}
\alpha + \beta &=& - \frac{b}{a} \\
\alpha \beta &=& \frac{c}{a}
\end{eqnarray}を得ます。
3次方程式の解と係数の関係
3次方程式
\begin{equation}
ax^3 + bx^2 +cx + d = 0 \tag{3}
\end{equation}についても同様です。こちらも次のように書けます。
\begin{equation}
a(x - \alpha)(x - \beta)(x - \gamma) = 0 \tag{4}
\end{equation}
式(3), (4)より、次の恒等式が成り立ちます。なお、両辺をで割り、式(4)は展開しています。
\begin{equation}
x^3 + \frac{b}{a} \, x^2 + \frac{c}{d} \, x + \frac{d}{a} = x^3 - (\alpha + \beta + \gamma) \, x^2 + (\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha) \, x - \alpha \beta \gamma
\end{equation}
両辺の係数を比較して、
\begin{eqnarray}
\alpha + \beta + \gamma &=& - \frac{b}{a} \\
\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha &=& \frac{c}{a} \\
\alpha \beta \gamma &=& - \frac{d}{a}
\end{eqnarray}を得ます。
4次以上も同様ですが、形が複雑になるので省略します。
