2003年後期京大理系第3問 - 数式で独楽する

$a,b$ を実数とする。3次方程式 $x^3 +ax^2 +bx +1 = 0$ は3つの複素数からなる解 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ をもち、相異なる $i,j$ に対し、 $|\alpha_i -\alpha_j| = \sqrt{3}$ をみたしている。このような $a,b$ の組をすべて求めよ。

解答例
解説

解答例

解と係数の関係により、
\begin{eqnarray}
\alpha_1 +\alpha_2 +\alpha_3 &=& -a \tag{1} \\
\alpha_1 \alpha_2 +\alpha_2 \alpha_3 +\alpha_3 \alpha_1 &=& b \tag{2} \\
\alpha_1 \alpha_2 \alpha_3 &=& -1 \tag{3}
\end{eqnarray}が成り立ちます。
解と係数の関係 - 数式で独楽する

方程式の係数は全て実数のため、実数解を少なくとも1つ持ちます。
3つの解は、実数 $t,u,v \ (v \geqq 0)$ を用いて
\begin{eqnarray}
\alpha_1 &=& t \tag{4} \\
\alpha_2 &=& u +iv \tag{5} \\
\alpha_3 &=& u -iv \tag{6}
\end{eqnarray}とすることができます。

式(1)～(6)より、
\begin{eqnarray}
t +2u &=& -a \tag{7} \\
2tu +u^2 +v^2 &=& b \tag{8} \\
t(u^2 +v^2) &=& -1 \tag{9}
\end{eqnarray}となります。

$|\alpha_i -\alpha_j| = \sqrt{3}$ なので、
\begin{eqnarray}
v &=& \frac{\sqrt{3}}{2} \tag{10}\\
(t -u)^2 + v^2 &=& 3 \tag{11}
\end{eqnarray}が成り立ちます。
式(10), (11)より、
\begin{eqnarray}
(t -u)^2 &=& \frac{9}{4} \\
t -u &=& \pm \frac{3}{2}
\end{eqnarray}となります。

$\displaystyle t -u = -\frac{3}{2}$ の場合、式(9)より
\begin{eqnarray}
\left( u -\frac{3}{2} \right) \left( u^2 +\frac{3}{4} \right) &=& -1 \\
u^3 -\frac{3}{2} \, u^2 +\frac{3}{4} \, u -\frac{1}{8} &=& 0 \\
\left( u -\frac{1}{2} \right)^3 &=& 0
\end{eqnarray}となります。
これより
\begin{eqnarray}
u &=& \frac{1}{2} \\
t &=& -1
\end{eqnarray}を得ます。
式(7), (8)より、
\begin{eqnarray}
a &=& 0 \\
b &=& 0
\end{eqnarray}となります。

$\displaystyle t -u = \frac{3}{2}$ の場合、同様に式(9)より、
\begin{eqnarray}
\left( u +\frac{3}{2} \right) \left( u^2 +\frac{3}{4} \right) &=& -1 \\
u^3 +\frac{3}{2} \, u^2 +\frac{3}{4} \, u +\frac{17}{8} &=& 0 \\
\left( u +\frac{1}{2} \right)^3 +2 &=& 0
\end{eqnarray}となります。
$u$ は実数なので
\begin{eqnarray}
u &=& -\frac{1}{2} -\sqrt[3]{2} \\
t &=& 1 -\sqrt[3]{2}
\end{eqnarray}を得ます。
式(7), (8)より、
\begin{eqnarray}
a &=& -t -2u \\
&=& 1 +2\sqrt[3]{2} -1 +\sqrt[3]{2} \\
&=& 3 \sqrt[3]{2} \\
b &=& 2tu +u^2 +v^2 \\
&=& -(1 +2\sqrt[3]{2})(1 -\sqrt[3]{2}) +\frac{1}{4} +\sqrt[3]{2} +\sqrt[2]{4} +\frac{3}{4} \\
&=& -(1 +\sqrt[3]{2} -2\sqrt[3]{2}) +\frac{1}{4} +\sqrt[3]{2} +\sqrt[3]{4} +\frac{3}{4} \\
&=& 3\sqrt[3]{4}
\end{eqnarray}となります。