方べきの定理の逆

「方べきの定理」に、逆があります。
方べきの定理 - 数式で独楽する

方べきの定理の逆

1. 2線分AB, CDもしくは2線分AB, CDの延長が点Pで交わり、\begin{equation} \mathrm{P A} \cdot \mathrm{PB} = \mathrm{PC} \cdot \mathrm{PD} \end{equation} が成り立つならば、4点A, B, C, Dは同一円周上に存在する。
2. 2直線PA, BCが点Pで交わり、\begin{equation} \mathrm{P A}^2 = \mathrm{PB} \cdot \mathrm{PC} \end{equation}が成り立つならば、直線PAは3点A, B, Cを通る円と点Aで接する。

1項の場合の証明

3点A, B, Cを通る円を描き、直線PCとの交点で点Cでない方を点D'とします。
点Pが両線分にある場合は点D'は点Pに関して点Cの反対側、
点Pが両線分の延長にある場合は点D'は点Pに関して点Cと同じ側になります。
方べきの定理により、
\begin{equation}
\mathrm{P A} \cdot \mathrm{PB} = \mathrm{PC} \cdot \mathrm{PD'}
\end{equation}が成り立ちます。
方べきの定理 - 数式で独楽する
一方、仮定より、
\begin{equation}
\mathrm{P A} \cdot \mathrm{PB} = \mathrm{PC} \cdot \mathrm{PD}
\end{equation}です。
したがって、

PD = PD'
ですが、点P, C, D, D'の位置関係ため、点D' と点Dは一致することになります。
よって4点A, B, C, Dは同一円周上に存在することが証明されます。

2項の場合の証明

点Bを通り、直線PAと点Aで接する円を描きます。*1
直線PBと円の交点のうち、点Bではない方を点C'とします。
方べきの定理により、
\begin{equation}
\mathrm{P A}^2 = \mathrm{PB} \cdot \mathrm{PC'}
\end{equation}が成り立ちます。
方べきの定理 - 数式で独楽する
一方、仮定より、
\begin{equation}
\mathrm{P A}^2 = \mathrm{PB} \cdot \mathrm{PC}
\end{equation}です。
したがって、

PC = PC'
ですが、点P, B, C, C'の位置関係のため、点C'と点Cは一致することになります。
よって、直線PAは3点A, B, Cを通る円と点Aで接することが証明されます。

*1:この円は作図可能です。点Aで立てた直線PAの垂線と線分ABの垂直二等分線の交点Oがこの円の中心、OAが半径となります。