2005年前期京大理系第3問別解

$\alpha, \beta, \gamma$ は相異なる複素数で、
\begin{equation}
\alpha +\beta +\gamma = \alpha^2 +\beta^2 +\gamma^2 = 0
\end{equation}を満たすとする。このとき、 $\alpha, \beta, \gamma$ の表す複素平面上の3点を結んで得られる三角形はどのような三角形か。

解答例
解説

解答例

いずれかを0、例えば $\gamma = 0$ とすると
\begin{equation}
\alpha +\beta = \alpha^2 +\beta^2 = 0
\end{equation}となり、
\begin{equation}
\alpha = \beta = \gamma = 0
\end{equation}となります。
したがって $\alpha, \beta, \gamma$ はいずれも0ではありません。

$\alpha, \beta, \gamma$ の対称性から
\begin{equation}
\gamma = 1
\end{equation}としても一般性を失いません。すると、
\begin{eqnarray}
\alpha +\beta &=& -1 \tag{1} \\
\alpha^2 +\beta^2 &=& -1 \tag{2}
\end{eqnarray}となります。
式(1), (2)より、
\begin{eqnarray}
(\alpha +\beta)^2 &=& \alpha^2 +2\alpha \beta +\beta^2 \\
1 &=& -1 +2\alpha \beta
\end{eqnarray}つまり
\begin{equation}
\alpha \beta = 1 \tag{3}
\end{equation}を得ます。

式(1), (3)より、 $\alpha, \beta$ は
\begin{equation}
z^2 +z +1 = 0 \tag{4}
\end{equation}の解となります。
解と係数の関係 - 数式で独楽する

式(4)の解は
\begin{equation}
z = \frac{-1 \pm \sqrt{3} \, i}{2}
\end{equation}なので、
\begin{eqnarray}
\alpha &=& -\frac{1}{2} +\frac{\sqrt{3}}{2} \, i \\
\beta &=& -\frac{1}{2} -\frac{\sqrt{3}}{2} \, i \\
\gamma &=& 1
\end{eqnarray}とできます。

これより、
\begin{equation}
|\alpha -\beta| = |\beta -\gamma| = |\gamma -\alpha| = \sqrt{3}
\end{equation}となります。
$\alpha, \beta, \gamma$ は正三角形をなすことを示しています。