三角形の辺の内分と対角の二等分

三角形の1辺を他の2辺の比に内分して対角と結ぶと、対角を二等分する

図を交えて記述すると、次のようになります。

三角形ABCにおいて、辺BCを
\begin{equation}
\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}} = \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}
\end{equation}を満たすように内分すると、線分ADは角Aを二等分する。

本稿は、
三角形の角の二等分線による対辺の分割 - 数式で独楽する
の逆の命題です。

証明は以下の通りです。

半直線BA上にAC = AEとなる点Eを定めます。
このとき、
\begin{equation}
\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}} = \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AE}}
\end{equation}です。
これより
\begin{equation}
\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{BC}} = \frac{\mathrm{BA}}{\mathrm{BE}}
\end{equation}なので、

△BDA∽△BCE
です。*1

相似である三角形の対応する角の大きさは等しいので、

∠BAD = ∠AEC　(1)
です。この2角は同位角の関係なので
AD∥EC
です。錯角は等しいので、
∠CAD = ∠ACE　(2)
です。

一方、△ACEは二等辺三角形なので、

∠ACE = ∠AEC　(3)
です。

式(1)~(3)より、

∠BAD = ∠CAD
となります。
つまり、線分ADは角CBAの二等分線となります。

以上より、